Geometrin bakom CCTV-kameratäckning

Sammanfattning

Vi härleder, utifrån hålkameramodellen, markavtrycket för en nedvinklad, mastmonterad CCTV-kamera: skärningarna vid när- och fjärrkant, den geometriska blindzonen rakt under fästet och DORI-måldistanserna i EN 62676-4 återgivna som bågar på marken. Varje figur nedan beräknas interaktivt av geometrimodulen som följer med CCTVplanner-designern — flytta reglagen för att återskapa varje resultat. Vi avslutar med linsprojektionsmodeller, databladsfällan med HFOV/DFOV, skuggning från hinder, en felbudget för parametrar och de antaganden under vilka modellen kan anses tillförlitlig.

Konventioner

mark: plan z = 0
kamera: optiskt centrum på höjd z = h
axlar: +x right · +y forward · +z up
lutning α: mätt nedåt från horisontalplanet
strålar: utsända från optiskt centrum i basen (f, r, u)
vinklar: radianer i derivator; grader i figurerna

Omfattning — vad denna not inte är

En rent geometrisk modell av var en kameras strålar landar. Inom sina angivna antaganden är den geometriskt exakt — matematiskt precis, om än begränsad i omfattning. Den försöker inte modellera:

bildkvalitet eller sensorbrus
kompressionsartefakter i video
belysning, svagt ljus eller IR-räckvidd
detekteringsnoggrannhet för AI/analys

1Från frustum till markavtryck

En hålkamera definierar ett synfrustum: en fyrsidig pyramid som sträcker sig från kamerans optiska centrum ut till gränserna för dess bildplan. Varje bildpunkt — ett pixelcentrum i den diskreta implementeringen — definierar en synstråle från optiskt centrum genom bildplanet. För att hitta det markområde en kamera täcker skär vi varje stråle mot markplanet och behåller de punkter som ligger inom kamerans räckvidd. Hålkameramodellen används här eftersom den ger en analytiskt hanterbar approximation som stämmer med de geometriska antagandena i EN 62676-4 och de publicerade specifikationerna för de flesta fasta CCTV-kameror.

För en kamera på höjden h, nedvinklad α under horisontalplanet, med ett vertikalt synfält vfov, spåras täckningens yttre hölje av bildgränsen — för en rätlinjig projektion definieras det enbart av de fyra hörnstrålarna, medan det för fisheye-projektioner samplas längs hela gränsen. Vid typiska monteringar (där $\alpha + \tfrac{\text{vfov}}{2} < 90^\circ$ ) blir formen ett ungefär trapetsformat markavtryck med krökta hörn — inte en triangel eller en sektor med ursprung i fästet. När $\alpha + \tfrac{\text{vfov}}{2}$ närmar sig 90° (branta takdomer) möter den nedre bildkanten marken vid mastens fot och markavtrycket degenererar mot en sektor.

Figure 1Markavtryck sett uppifrån

h höjd4 mα lutning26 °H hfov102 °R räckvidd28 m

Fig. 1. Markavtryck från produktionens geometrimodul. Den nedre kanten möter marken en bit framför kameran; sidokanterna vidgar sig utåt; den bortre kanten begränsas vid den effektiva räckvidden. Vidga hfov förbi 180° så sveper markavtrycket runt till en hel skiva.

2Skärning vid när- och fjärrkant

Varje sampel i bildplanet (s_H, s_V) ∈ [−1, 1]² avbildas på en synstråleriktning i kamerans koordinatsystem:

\mathbf{d}(s_H, s_V) = \mathbf{f} + s_H\tan\tfrac{\text{HFOV}}{2}\,\mathbf{r} + s_V\tan\tfrac{\text{VFOV}}{2}\,\mathbf{u}

(1)

där f, r, u är kamerans basvektorer framåt/höger/upp (panorering och lutning redan tillämpade) — det är här HFOV och VFOV kommer in i geometrin. Att skära strålen från optiskt centrum längs d mot markplanet z = 0 ger varje sampel i markavtrycket. Strålen längs nedre kanten (s_V = −1) möter marken vid närdistansen, strålen längs övre kanten (s_V = +1) vid fjärrdistansen:

d_{\text{near}} = \dfrac{h}{\tan\!\left(\alpha + \frac{\text{vfov}}{2}\right)}

(2)

d_{\text{far}} = \begin{cases} \dfrac{h}{\tan\!\left(\alpha - \frac{\text{vfov}}{2}\right)}, & \alpha > \tfrac{\text{vfov}}{2}\ \ (\text{below horizon}) \\[10pt] \infty \ \rightarrow\ \text{clamp to } R, & \alpha \le \tfrac{\text{vfov}}{2}\ \ (\text{edge above horizon}) \end{cases}

(3)

Figure 2Sidovy — strålar, markremsa, död vinkel

h höjd6 mα lutning16 °β vfov48 °R räckvidd38 m

Fig. 2. Sidoprofil. De två blå linjerna är strålarna längs nedre och övre kanten; det tjocka blå bandet är där kameran avbildar golvet (d_near → d_far). Den röda kilen under masten är området som ingen stråle når. Höj h för att se blindzonen växa (§3); sänk α under vfov/2 så stiger den bortre kanten över horisonten och begränsas till räckvidden.

För sidokanterna (s_H = ±1) görs samma konstruktion i horisontalplanet. För rätlinjiga linser (den dominerande CCTV-optiken) projiceras dessa till divergerande räta linjer — trapetsens sneda sidor. För fisheye-linser är avbildningen krökt och markavtrycket blir en krökt skiva.

3Den geometriska blindzonen

För varje kamera som är monterad ovanför marken och nedvinklad mindre än $90^\circ - \tfrac{\text{vfov}}{2}$ tar ett område rakt under fästet emot ingen stråle. Allt som är närmare än d_near ligger helt utanför bilden, och med lutning och FOV fasta skalar blindzonen linjärt med höjden:

d_{\text{near}} = h\,\cot\!\left(\alpha + \tfrac{\text{vfov}}{2}\right), \qquad \frac{\partial d_{\text{near}}}{\partial h} = \cot\!\left(\alpha + \tfrac{\text{vfov}}{2}\right)

(4)

En kamera med 15° lutning och ett vertikalt FOV på 50° har en blindzon på 4.8 m vid 4 m och 23.8 m vid 20 m — ett förhållande på 5× som motsvarar höjdförhållandet. Förhållandet mellan blindzonsyta och täckningsyta är den dominerande begränsningen vid placering på hög mast.

4DORI-räckvidder (EN 62676-4)

DORI-standarden (Detect / Observe / Recognize / Identify) definierar mål-pixeltätheter — Identify 250, Recognize 125, Observe 62.5, Detect 25 px/m. En given täthet uppnås på ett specifikt snedavstånd (siktlinjeavstånd) från linsen: objektavståndet i avbildningssambandet $\text{px/m} = f\cdot\text{res}/(\text{sensor}\cdot d)$ . För att placera en nivå på en 2D-karta projicerar designern det sneda avståndet på marken som en horisontell ring med radien $\sqrt{d_{\text{slant}}^{2} - h^2}$ (modulens slantToGroundRadius), beskuren av markavtrycket. Bågarna är alltså horisontella markradier härledda från nivåns snedavstånd — de är lika med snedavståndet endast för en kamera i marknivå och dras inåt när fästet höjs. Avsnitt 10 kopplar dessa px/m-nivåer till kriterierna för skärmhöjd, pixlar per fot och linjepar som används i andra delar av världen.

Figure 3DORI-ringar som bågar på marken

Identify
250 px/m

Recognize
125 px/m

Observe
62.5 px/m

Detect
25 px/m

h höjd4 mα lutning20 °H hfov90 °R räckvidd70 m

Fig. 3. DORI-nivåer inuti markavtrycket. Nivåernas sneda avstånd (8 / 16 / 32 / 64 m, illustrativa för en 1080p-kamera vid ~90° HFOV) projiceras på marken av motorns slantToGroundRadius, så varje etikett visar den horisontella radien

\sqrt{d^2 - h^2}

. Höj h så dras de nära nivåerna inåt och försvinner sedan när kameran sitter ovanför snedsfären. Smalna av hfov så blir konen för tunn för att rymma de yttre ringarna.

Markprojektionen. Varje nivås snedavstånd blir en horisontell markradie:

r_{\text{ground}} = \sqrt{\,d_{\text{slant}}^{\,2} - h^2\,}

(5)

En kamera monterad på 6 m, vars Identify-nivå (250 px/m) uppnås vid ett snedavstånd på 8 m, täcker en horisontell markradie på 5.3 m ( $\sqrt{64 - 36}$ ). Detta är exakt den projektion som designern samt PDF- och DXF-exporterna tillämpar på varje nivå. (En äldre reservlösning — PTZ-kameror och kameror utan konfiguration för monteringshöjd/blindzon — ritar det råa snedavståndet som en plan radie utan höjdkorrigering.)

5Linsprojektionsmodeller

Olika linskonstruktioner avbildar vinkeln θ från den optiska axeln till bildplansradien r(θ) på olika sätt. De tre som används inom CCTV:

Projektion	r(θ)	Typiskt intervall
Rectilinear	$f\tan\theta$	HFOV ≲ 120° — de flesta fasta och varifokala linser
Equidistant	$f\,\theta$	HFOV ≳ 140° — panorama/fisheye
Equisolid	$2f\sin(\theta/2)$	Fisheye som bevarar rymdvinkel

För rätlinjiga linser överstiger faktorn utanför axeln $\tan\theta$ värdet 1 så snart θ passerar 45° (HFOV > 90°) och divergerar som θ → 90°. Som en numerisk approximation — ett implementeringsval, inte en egenskap hos optiken — använder CCTVplanner rätlinjig upp till 170° HFOV och växlar sedan till ekvidistant för stabilitet; ekvisolid stöds i geometrilagret för tillverkardata som anger den.

Databladsfälla: HFOV kontra DFOV

Många tillverkare — särskilt Dahua, Hikvision, Uniview, Tiandy — anger ett enda FOV-värde som i själva verket är det diagonala synfältet (DFOV). Att mata in en DFOV i ett verktyg som förväntar sig HFOV ger ett markavtryck som är 10–15% för brett, med felet koncentrerat till sidokanterna där pixeltätheten betyder mest. För en sensor med bildförhållandet a (16:9 → a = 16/9):

\tan\tfrac{\text{HFOV}}{2} = \tan\tfrac{\text{DFOV}}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}, \qquad \tan\tfrac{\text{VFOV}}{2} = \tan\tfrac{\text{DFOV}}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}

(6)

Avbildningen är icke-linjär: en frestande linjär genväg $\text{HFOV} \approx k\cdot\text{DFOV}$ fungerar för smala linser men slår fel rejält när synfältet vidgas. För en 16:9-sensor:

DFOV	Exakt HFOV	Exakt VFOV	Fel vid linjär förenkling
60°	53.4°	31.6°	−1.1°
80°	72.4°	44.7°	−2.6°
100°	92.2°	60.6°	−5.0°
120°	113.0°	80.7°	−8.4°
140°	134.7°	106.8°	−12.7°

6Hinder, skuggor och det synliga markavtrycket

Väggar och stängsel blockerar strålar. Varje ogenomskinligt hinder modelleras som en polygon eller polylinje; varje segment projiceras bort från kameran till flera gånger renderingsräckvidden, och unionen av dessa segmentvisa skuggor utgör hindrets silhuett plus allt bakom det. Det synliga markavtrycket är då $\text{footprint} \setminus \bigcup \text{shadows}$ , via Martínez–Rueda-algoritmen för polygondifferens.

För 3D-medveten analys kastar ett hinder som är lägre än kameran en ändlig markskugga. För en vägg på horisontellt avstånd d, kamerahöjd h_cam, hinderöverkant h_obs:

d_{\text{shadow}} = d\cdot\dfrac{h_{\text{cam}}}{h_{\text{cam}} - h_{\text{obs}}}\quad (h_{\text{cam}} > h_{\text{obs}})

(7)

För $h_{\text{obs}} \ge h_{\text{cam}}$ blockerar hindret siktlinjen helt — en oändlig skugga, behandlad som en helt ogenomskinlig blockerare. För byggnader och generiska hinder tillämpas denna ändliga-höjd-modell alltid när kameran sitter ovanför strukturen; för stängsel styrs den av växeln "Använd vertikal höjd (3D)" (standard: ogenomskinlig blockerare). Matematiken för skuggans slut finns i obstacleTypes.ts; obstacleClipping.ts kör polygondifferens-subtraktionen.

7Projektion över flera våningar

Skärningen mellan frustum och mark generaliseras till vilket horisontalplan som helst: ersätt $z = 0$ med $z = z_{\text{target}}$ , lös samma stråle-plan-ekvation för varje hörnstråle, och resultatet är markavtrycket på den våningen. En kamera på andra våningen i ett atrium täcker bottenvåningen genom samma konstruktion — bara med ett annat z_target och en annan vertikal förskjutning.

8Antaganden och begränsningar

Varje formel ovan vilar på förenklande antaganden. De håller för merparten av fast monterad CCTV men bryter samman under specifika förhållanden — dokumenterade så att yrkesutövare vet när modellen kan litas på.

Modellantaganden

Plan mark $(z = 0)$ — ingen lutning, ingen jordkrökning.
Statisk kamera vid exponering — ingen PTZ-rörelse, ingen vibration.
Hålkameramodell — ingen Brown–Conrady-linsdistorsion (k₁, k₂, p₁, p₂).
Idealisk kalibrering — nickvinkel, brännvidd och optiskt centrum stämmer med specifikationen.
Ingen rullande slutare; hela bildrutan fångas i ett ögonblick.
Ingen kamerarullning; sensorn förblir horisontell.
Enkel optisk väg — ingen brytning i kupolen, inga reflektioner.

När den bryter samman

Sluttande terräng — markavtrycket förskjuts asymmetriskt, fel ≈ ±h·tan(slope) per meter.
Vidvinkeldistorsion — bortom ~110° HFOV kan rätlinjig avvika med flera procent i hörnen (beroende på lins, kalibrering och modell).
Glaskupoler — refraktiv förskjutning i mm-skala; spelar roll endast för DORI med hög precision.
Flerstuds-optik — reflektioner spåras inte; endast siktlinje.
PTZ i rörelse — modellen ger en panorering/lutning; täckningen är det svepta markavtrycket.
Installationstolerans — verkliga vinklar avviker 1–3°; §9 kvantifierar effekten.

9Felkänslighet

Inmatningsfel (höjd, lutning, FOV) fortplantas till fel i markposition. För närskärningen $d_{\text{near}} = h/\tan(\alpha + \text{vfov}/2)$ är de partiella derivatorna:

\begin{gathered} \dfrac{\partial d_{\text{near}}}{\partial h} = \dfrac{d_{\text{near}}}{h}, \quad \dfrac{\partial d_{\text{near}}}{\partial \alpha} = \dfrac{-h}{\sin^2(\alpha + \text{vfov}/2)}, \quad \dfrac{\partial d_{\text{near}}}{\partial\,\text{vfov}} = \dfrac{-h}{2\sin^2(\alpha + \text{vfov}/2)} \\[5pt] \footnotesize (\alpha,\ \mathrm{vfov}\ \text{in radians}) \end{gathered}

(8)

De vinkelpartiella derivatorna är i radianer (× $\pi/180$ för per grad). För en typisk konfiguration (h = 10 m, tilt = 15°, vfov = 50° → d_near ≈ 11.9 m):

Parameter	Indatafel	Δ d_near	Anmärkning
tilt α	±1°	±0.42 m	inklinometerupplösning
tilt α	±3°	±1.27 m	fästmontering på ögonmått
height h	±0.5 m	±0.59 m	måttband, oåtkomlig mast
vfov	±1°	±0.21 m	databladsavrundning
combined	RMS	~1.4 m	at 3° + 0.5 m + 1°

Rakt på sak: ett installationsfel på 1° kan förskjuta Identify-zonen med mer än bredden på en dörröppning. Osäkerheten i installationsvinkeln dominerar: varje grads lutningsfel kostar ~42 cm vid d_near här. En laserinklinometer med 0.1° håller det lutningsdrivna felet under 5 cm; ett fäste monterat på ögonmått räcker till ~±1 m. För verifiering av DORI-nivåer — där Recognize- och Identify-ringarna kan ligga 2–3 m isär — bör lutningen mätas, inte uppskattas.

10Måldistanskriterier över olika standarder

DORI är den internationella lingua francan, men en projektör arbetar under den standard som jurisdiktionen föreskriver. Varje ramverk kodar samma fysikaliska storhet — erforderlig detaljnivå på avstånd — i en av fyra enheter: pixlar per meter, procent av skärmhöjd, pixlar per fot eller Johnson-linjepar. Geometrin ovan är identisk; endast avläsningen ändras.

Region	Standard	Enhet	Detect / Recognise / Identify	kontra DORI
Intl · EU	IEC / EN 62676-4 (2014·2025)	px/m	25 / 125 / 250 (Obs 62.5)	referensstege
EU legacy	EN 50132-7:2012	% screen	10% / 50% / 100%	skärmhöjdsform
UK	HOSDB 28/09 · Rotakin	% screen	10% / 50% / 100%†	= EN 50132-7
AU · NZ	AS 4806.2 → AS/NZS 62676	% → px/m	10% / 50% / 100% → DORI	migrerar till DORI
US	DHS S&T handbook · PPF	px/ft	~10 / 40 / 80 ppf	DORI × 0.305
China	GB 37300-2018	px on target	body ≥200 · face ≥300 · plate ≥100	px på mål
UAE	Dubai SIRA	px/m	63.5 / 125 / 250	≈ DORI
India	BIS IS 16910-4	px/m	= DORI	antar IEC 62676-4
Russia	GOST R 51558-2014 ‡	inter-eye px	face ID ≥60 px IED ‡	partiell D/R/I
Mil · thermal	Johnson 1958 · TTP	line-pairs	1.0 / 4.0 / 6.4 cyc	underliggande modell
Face biometric	ISO/IEC 19794-5 · 39794-5	inter-eye px	~10 / ~40 / ≥90 (IED)	golv under Identify

† Brittisk Identify = 100% av skärmhöjden (HOSDB 28/09, 2009); den tidigare specifikationen PSDB 17/94 / Rotakin använde 120%. Kriterierna gäller en referensperson på ~1.6–1.7 m. ‡ Ryska GOST R 51558 har låg tillförlitlighet här — primärtexten är betalspärrad och sekundärkällor är oense, så behandla värdet som vägledande. Ansiktsbiometriskt IED = avstånd mellan ögonen (pupill till pupill): pixelgolvet som "Identify" i slutänden vilar på.

Inte varje jurisdiktion fastställer ett tal. Kanada (RCMP GCPSG-011) och, i praktiken, Saudiarabien (HCIS) kräver att kameraprestanda motiveras av en riskbedömning för platsen snarare än ett fast pixelmål, och Japan publicerar inget särskilt avståndskriterium för CCTV.

2025 års revision av IEC 62676-4 ersätter de fyra DORI-nivåerna med en sjustegs-OODPCVS-stege — Overview, Outline, Discern, Perceive, Characterise, Validate, Scrutinise — vid 20 / 40 / 80 / 125 / 250 / 500 / 1500 px/m. CCTVplanner-motorn beräknar båda.

Eftersom alla fyra enheterna mäter samma sak går de att räkna om exakt mellan varandra givet sensorupplösningen och målets storlek:

\begin{aligned} \text{ppf} &= 0.3048 \times (\text{px/m}) \\[3pt] \%\,\text{screen height} &= 100\cdot\frac{(\text{px/m})\cdot H_{\text{target}}}{V_{\text{pixels}}} \\[3pt] \text{px/m} &= \frac{2N}{d_c}\ \ (N=\text{Johnson line-pairs},\ d_c=\text{critical dim.}) \end{aligned}

(9)

Så ett och samma avstånd i motorn läses av som 250 px/m (DORI Identify), 100% skärmhöjd (EN 50132-7 / HOSDB), 76 px/ft (US) eller 6.4 linjepar (Johnson) — samma kamera, fyra vokabulärer.

11Vanliga missuppfattningar

Fyra förväxlingar står för det mesta av glappet mellan en design på pappret och det som faktiskt installeras — var och en en direkt följd av geometrin ovan.

✗HFOV är detsamma som DFOV.

✓Datablad anger ofta det diagonala synfältet. Använt som horisontellt vidgar det markavtrycket för mycket, 10–15%, och blåser upp varje DORI-räckvidd (§5).

✗En vidare lins ger bättre täckning.

✓En vidare lins sprider samma pixlar över mer motiv, så pixeltätheten — och varje DORI-avstånd — sjunker. Mer yta, mindre identifierbar detalj.

✗Högre montering förbättrar alltid sikten.

✓Höjden får blindzonen att växa linjärt (§3) och gör nedblicksvinkeln brantare; efter en viss punkt avbildar man mer hjässa och tak än ansikte.

✗Ett DORI-avstånd ritas rakt av på kartan som en markradie.

✓Värdet i px/m uppnås vid snedavståndet (siktlinjeavståndet); kartringen är dess markprojektion √(slant²−h²), som dras inåt när kameran monteras högre (§4).

12Reproducerbarhet

Varje formel här är implementerad direkt i geometrimodulen som följer med CCTVplanner-designern — utan approximation utöver numerisk sampling, polygonbeskärning och ordningsföljd i flyttal — och täcks av en enhetstestsvit över rätlinjiga/ekvidistanta/ekvisolida projektioner, gränsfall för blindzoner, DORI-markprojektion, polygon-boolesk hinderbeskärning och flervånings-utökningen. Varje figur på den här sidan anropar just dessa funktioner.

Viktiga ingångspunkter

buildFrustum(args) — kamerabas + frustum-metadata
computeGroundFootprint(frustum, projection) — samplad markavtryckspolygon
slantToGroundRadius(frustum, slantM) — $\sqrt{d^2 - h^2}$ med åtkomlighetskontroll
subtractObstacleShadows(footprint, shadows) — Martínez–Rueda-differens
computeFloorFootprint(frustum, z, projection) — flervåningsvariant

§Referenser

[1]IEC 62676-4:2014 (med tillägg) — Videoövervakningssystem för säkerhetstillämpningar, del 4: Tillämpningsriktlinjer (DORI-måldistanser). Publicerad som EN 62676-4 i Europa.
[2]Hartley & Zisserman, Multiple View Geometry in Computer Vision, 2:a uppl., Cambridge University Press, 2004.
[3]Kannala & Brandt, "A generic camera model and calibration method for conventional, wide-angle, and fish-eye lenses," IEEE TPAMI, 2006.
[4]Martínez, Rueda & Feito, "A new algorithm for computing Boolean operations on polygons," Computers & Geosciences, 2009 — med uppföljaren från 2013 i Advances in Engineering Software.
[5]Szeliski, Computer Vision: Algorithms and Applications, 2:a uppl., Springer, 2022 (projektionsmodeller, kamerageometri — standardreferens).
[6]EN 50132-7:2012 — Larmsystem, CCTV-övervakningssystem, del 7: Tillämpningsriktlinjer (operativa krav för skärmhöjd; ersatt av EN 62676-4).
[7]IEC 62676-4:2025 (utg. 2) — Tillämpningsriktlinjer som inför OODPCVS sjustegs-pixeltäthetsstege.
[8]US DHS Science & Technology, Digital Video Quality Handbook, 2013 (uppdaterad 2018) — vägledning för pixlar per fot inom video för allmän säkerhet.
[9]GB 37300-2018 — Videoövervakning för allmän säkerhet (Kina, obligatorisk), §5.6 krav på målpixlar.
[10]Johnson, J. (1958), "Analysis of image-forming systems," Proc. Image Intensifier Symposium — med efterföljaren NVESD Targeting Task Performance (TTP), Vollmerhausen & Jacobs, Opt. Eng. 43(11), 2004.
[11]ISO/IEC 19794-5:2011 & ISO/IEC 39794-5:2019 — Biometriska ansiktsbilddata (kriterier för pixlar mellan ögonen för ansiktsigenkänning och registrering).

Så här citerar du

CCTVplanner Forskning. Geometrin bakom CCTV-kameratäckning. Teknisk not CP-TN-01, v1.0, 2026. cctvplanner.io/camera-physics

@techreport{cctvplanner-cptn01-2026,
  title   = {The Geometry of CCTV Camera Coverage},
  author  = {{CCTVplanner Research}},
  number  = {CP-TN-01},
  version = {1.0},
  year    = {2026},
  url     = {https://cctvplanner.io/camera-physics}
}

Varje figur i denna not genereras av samma geometrimotor som CCTVplanner-designern använder.

Öppna designern