Heometriya ng saklaw ng kamerang CCTV

1. Mula sa frustum patungo sa bakas sa lupa

Ang isang pinhole na kamera ay tumutukoy sa isang frustum ng pananaw: isang apat-na-panig na piramid na umaabot mula sa optikal na sentro ng kamera papunta sa mga hangganan ng eroplano ng imahe nito. Ang bawat pixel ay isang sinag mula sa optikal na sentro patungo sa kaukulang punto sa eroplano ng imahe. Upang matagpuan kung anong rehiyon ng lupa ang sakop ng kamera, kinukrus natin ang bawat sinag sa eroplano ng lupa at pinapanatili ang mga puntong nahuhulog sa loob ng saklaw ng kamera.

Para sa kamerang nakakabit sa taas h, nakatilad ng anggulong α sa ibaba ng pahalang, na may patayong larangan ng pananaw vfov, ang apat na sinag sa sulok ng frustum ay bumubuo ng panlabas na hugis ng saklaw sa lupa. Sa karaniwang mga konpigurasyon ng pagkakabit (kung saan α + vfov/2 < 90°), ang hugis ay isang nagputol na trapezoid na may mga kurbang sulok — hindi triyanggulo o sektor na nagmumula sa puntong pagkakabit ng kamera. Habang papalapit ang α + vfov/2 sa 90° (mga napakatilad na dome na kamerang nakakabit sa kisame), ang ibabang gilid ng imahe ay nagsisimulang tamaan ang lupa sa paanan ng kamera at ang trapezoid ay nagpapababa patungo sa isang sektor.

Bakas sa lupa mula sa itaas para sa kamerang may h = 4 m, tilad = 30°, hfov = 106°. Ang ibabang gilid ng imahe ay nakakaabot sa lupa ng kaunting distansya sa harap ng kamera; ang mga gilid sa tagiliran ay nagbubukas tulad ng pamaypay; ang malayong gilid ay limitado sa epektibong saklaw ng kamera.

2. Ang interseksyon ng ibabang-gilid / itaas-gilid

Ang sinag sa ibabang gilid (sV = −1 sa mga koordinada ng eroplano ng imahe) ay tumatama sa lupa sa:

d_near = h / tan(α + vfov/2)

Ang sinag sa itaas na gilid (sV = +1) ay tumatama sa:

d_far = h / tan(α − vfov/2)            kung α > vfov/2  (buong nasa ibaba ng abot-tanaw)
        walang hangganan                kung α ≤ vfov/2  (itaas na gilid sa itaas ng abot-tanaw
                                                            — pinipigil sa renderRange)

Tagilirang tanaw, h = 4 m, tilad = 15°, vfov = 50°. Ang dalawang asul na linya ay ang ibabang at itaas na sinag ng frustum; ang makapal na asul na guhit sa lupa ay nagmamarka kung saan kinukunan ng kamera ang sahig (mula d_near hanggang renderRange). Ang pulang kuneo sa ilalim ng poste ay ang heometrikong rehiyon na hindi maresolba ng lente.

Para sa mga gilid sa tagiliran (sH = ±1), ang parehong konstruksyon ay nalalapat sa pahalang na eroplano: ang bawat sinag sa tagiliran ay sumasaklaw sa HFOV ng kamera sa bawat taas ng eroplano ng imahe. Para sa mga lenteng rektilinear (ang nangingibabaw na CCTV optics) ito ay napoproyekto bilang naghihiwalay na tuwid na linya sa lupa, na lumilikha ng mga tilad na gilid ng trapezoid. Para sa mga lenteng fisheye ang parehong mapping ay kurbado at ang bakas ay nagiging kurbang disko.

3. Ang heometrikong bulag na lugar

Para sa anumang kamerang nakakabit sa itaas ng lupa at nakatilad nang mas kaunti sa 90° − vfov/2, may rehiyon kaagad sa ilalim ng kabit na walang sinag ng frustum ang makakaabot. Ang ibabang gilid ng imahe ay nakatuturo sa α + vfov/2 sa ibaba ng pahalang; lahat ng mas malapit kaysa sa d_near ay buo nang nasa labas ng imahe ng kamera.

Sa pananatiling pare-pareho ng tilad at FOV, ang bulag na lugar ay tumataas nang linyar kasabay ng taas ng pagkakabit — ang pormula ay nababawasan sa d_near = h × cot(α + vfov/2), kung saan ang cotangent term ay nakapirmi ng lente. Ang kamerang nakatilad ng 15° na may 50° na patayong FOV ay may bulag na lugar na 4.8 m sa 4 m na taas ng pagkakabit at 23.8 m sa 20 m — isang ratio na 5× na tumutugma sa ratio ng taas. Ang ratio ng bulag na sukat sa sukat ng saklaw ay ang nangingibabaw na hadlang sa pagkakalagay ng kamera sa mataas na poste.

Pareho ang lente, parehong 15° tilad, mas mataas lang ang pagkakabit (h = 20 m): ang bulag na lugar ay tumataas nang proporsyonal sa taas, anuman ang distansyang pokal o sukat ng sensor.

4. Mga distansyang DORI (EN 62676-4)

Ang pamantayang DORI (Detect / Observe / Recognize / Identify — Pagtuklas / Pagmamasid / Pagkilatis / Pagkilala) ay tumutukoy sa mga pixel density ng target sa partikular na distansya mula sa kamera. Ayon sa EN 62676-4, ang mga distansyang ito ay pahalang na distansya sa lupa sa pagitan ng kamera at target — hindi tilad na distansya sa optikal na axis. Ang mga datasheet ng pangunahing tagagawa (Axis, Hikvision, Dahua, Bosch) ay sumusunod sa kombensyong ito.

Sa 2D map ang apat na antas ng DORI ay simpleng konsentrikong arko na may radyus na katumbas ng kanilang pahalang na distansya, pinutol ng polygon ng bakas ng kamera. Kung saan hindi nakakaabot ang bakas sa radyus na iyon, ang katumbas na bahagi ng arko ay itinatago — para sa makitid na HFOV ng kamera, masyadong manipis ang kono upang maglaman ng buong bilog kaya naputol ang mga tagilirang dulo ng bawat antas, at para sa malapit na saklaw na kamera, ang mas malalaking antas ay buong nahuhulog sa labas ng kono.

Mga singsing ng DORI bilang mga arko sa lupa sa loob ng bakas ng kamera. h = 4 m, tilad = 20°, hfov = 90°, saklaw = 70 m. Ang ipinakitang halaga ng antas (8 / 16 / 32 / 64 m) ay paglalarawan para sa karaniwang 1080p kamera sa ~90° HFOV; ang aktwal na pahalang na distansya ay nakadepende sa sensor at distansyang pokal. Tinutukoy ng EN 62676-4 ang pixel density sa bawat antas (Pagkilala: 250 px/m, Pagkilatis: 125 px/m, Pagmamasid: 62 px/m, Pagtuklas: 25 px/m), kung saan kinukuha ang per-camera na pahalang na saklaw.

Interpretasyon ng tilad na distansya (kung naaangkop). Kung ang isang partikular na datasheet ay nagtatakda ng saklaw bilang tilad na distansya mula sa lente — bihira para sa pangkalahatang gamit na CCTV optics, paminsan-minsang nakikita sa mga teknikal na specification ng thermal o telephoto na lente — ang katumbas na pahalang na saklaw sa lupa ay √(d_slant² − h²). Ang kamerang nakakabit sa 6 m na may 8 m na tilad na saklaw ng Pagkilala ay sumasaklaw sa pahalang na radyus na 5.3 m (√(64 − 36)). Ang module ng heometriya ay naglalantad ng dalawang anyo; ang diagram ng pahina ay gumagamit ng karaniwang pahalang na interpretasyon.

5. Mga uri ng proyeksyon ng lente

Ang iba't ibang disenyo ng lente ay nagmamapa ng anggulo mula sa optikal na axis sa radyus ng eroplano ng imahe nang magkakaiba. Ang tatlong proyeksyong ginagamit sa CCTV:

θ = anggulo mula sa optikal na axis (radian); f = distansyang pokal. Ang r(θ) ay distansyang radyal sa eroplano ng imahe mula sa pangunahing punto.

Para sa mga rektilinear na lente, ang off-axis na panig na factor na tan(θ) ay lumalampas sa 1 sa sandaling lumampas ang θ ng 45° mula sa optikal na axis (ibig sabihin, kapag lumampas ang HFOV sa 90°), at lumalago nang walang hangganan habang papalapit ang θ sa 90° (HFOV na papalapit sa 180°). Sa totoong optics, ang pag-uunat sa sulok ay nagiging matindi bago pa man mag-diverge ang matematika — karamihan sa mga taga-disenyo ng lente ay lumilipat sa quasi-fisheye glass sa paligid ng 120–140° HFOV, na may buong fisheye lenses na ginagamit sa itaas ng ~170°.

Sa kasalukuyan ang CCTVplanner.io ay pumipili ng rektilinear projection hanggang 170° HFOV, higit pa rito ay sapat ang paglago ng pag-uunat sa sulok upang lumipat sa ekwidistante para sa numerikal na katatagan. Ang mga kamera sa pagitan ng ~140° at 170° HFOV ay kaya ginagaya sa rektilinear na matematika kahit na ang kanilang pisikal na lente ay mas malapit sa fisheye — tinatanggap natin ito kapalit ng mas simpleng heometriya sa sulok. Ang ekwisolidong proyeksyon ay sinusuportahan sa heometriyang layer (para sa data ng tagagawa na nagtatakda nito nang tahasan), bagamat wala pang user-facing toggle para dito.

Babala sa datasheet: HFOV vs DFOV

Maraming tagagawa — partikular na ang malalaking Asyanong tatak (Dahua, Hikvision, Uniview, Tiandy) — ay nag-quote ng iisang field-of-view na numero sa datasheet na talaga ay diagonal na field of view (DFOV), hindi pahalang. Ang paglalagay ng DFOV value sa tool na umaasa ng HFOV ay gumagawa ng bakas na 10–15 % masyadong malapad, na may pagkakamali na nakakonsentra sa mga gilid sa tagiliran kung saan pinakamahalaga ang pixel density.

Para sa sensor na may pahalang-sa-patayong aspect ratio na a (hal. 16:9 → a = 16/9), ang konbersyon ay:

tan(HFOV/2) = tan(DFOV/2) × a / √(a² + 1)
tan(VFOV/2) = tan(DFOV/2) × 1 / √(a² + 1)

Ang mapping ay non-linear sa anggulo: ang nakakaakit na linyar na shortcut sa hugis na HFOV ≈ k × DFOV ay umuubra para sa makitid na lente ngunit nabibigo nang malala kapag pinalawak ang field of view. Para sa 16:9 sensor ang eksaktong mga konbersyon ay:

"Pagkakamali ng linyar na shortcut" = HFOV mula sa simpleng pormula HFOV = (a / √(a²+1)) × DFOV minus ang eksaktong halaga. Pinapababa ng shortcut ang HFOV ng 5–13° sa malawak na anggulong saklaw na nangingibabaw sa modernong CCTV optics — mas malaki kaysa sa ipinapalagay na ±1° tolerance ng datasheet sa §9. Palaging gamitin ang pormulang base sa tan o ang mga eksaktong halaga sa itaas.

Ang database ng kamera ng CCTVplanner.io ay nag-iimbak ng HFOV (ang canonical CCTV measurement) at nagko-convert sa pag-import para sa mga kamera na ang datasheet ay nagtatakda lamang ng DFOV. Kapag manu-manong nag-input ng custom na kamera, suriin ang mga unit bago ilagay ang numero sa HFOV field — ang pagkakamaling ito ay isa sa dalawang pinakakaraniwang dahilan kung bakit hindi tumutugma ang mga site-survey footprint sa naka-install na realidad (ang isa pa ay sensor aspect ratio).

6. Mga sagabal, anino, at nakikitang bakas

Ang mga pader, bakod, at matatangkad na istraktura ay humaharang sa mga sinag mula sa kamera. Para makalkula ang nakikitang bakas, pinapamodelo natin ang bawat opaque na sagabal bilang isang polygon (saradong perimeter) o polyline (bukas na bakod) at nagpoproyekto ng anino na quadrilateral kada segment: ang bawat segment ay pinapahaba palayo sa kamera hanggang ilang beses ng render range. Ang unyon ng mga aninong ito kada segment ay ang silweta ng sagabal kasama ang lahat ng nasa likuran nito kapag nakikita mula sa kamera.

Ang nakikitang bakas ay sa gayon bakas − ⋃ anino, kinakalkula sa pamamagitan ng Martínez–Rueda polygon-difference algorithm. Ang resulta ay isang polygon (o listahan ng magkakahiwalay na polygon, kapag hinahati ng sagabal ang kono) na ang mga gilid ay gumi-grupo nang malinis sa malayong arko ng frustum at sa bawat humaharang na pader.

Para sa 3D-aware na pagsusuri, ang sagabal na mas mababa kaysa sa taas ng pagkakabit ng kamera ay hindi humaharang nang buo sa sinag — naghahagis ito ng may hangganang anino sa lupa na umaabot sa likod ng sagabal. Para sa pader sa pahalang na distansya d mula sa kamera, na may taas ng pagkakabit h_cam at taas sa tuktok ng sagabal h_obs, umaabot ang anino mula sa pader hanggang sa pahalang na distansya:

d_shadow_end = d × h_cam / (h_cam − h_obs)            para sa h_cam > h_obs

Para sa h_obs ≥ h_cam ang sagabal ay buong humaharang sa
linya ng paningin — katumbas ng walang-hangganang anino.
Tinatrato ng designer ang kasong ito bilang ganap na opaque
na hadlang (walang pagtanaw sa ibabaw) at inilalapat ang
parehong proyeksyon ng anino kada segment na ginagamit sa
2D obstacle-clipping path.

Ang pag-toggle ng "Gamitin ang patayong taas (3D)" sa isang gusali o bakod sa designer ay naglilipat dito sa modelong nagpoproyekto ng anino. Kapag mas mababa ang kamera kaysa sa sagabal (o pareho ang taas), walang epekto ang toggle.

7. Proyeksyong maraming-palapag

Ang interseksyon ng frustum-lupa ay madaling nai-generalize sa anumang pahalang na eroplano. Palitan ang ekwasyon ng sahig z = 0 ng z = z_target, lutasin ang parehong sinag-eroplanong ekwasyon para sa bawat sinag sa sulok, at ang resulta ay ang bakas ng kamera sa target na palapag. Ang kamerang nakakabit sa ikalawang palapag ng atrium ay sumasaklaw sa unang palapag sa parehong konstruksyon kung saan sinasaklawan ng kamerang nakakabit sa lupa ang sariling palapag, lamang ay may iba't ibang halaga ng z_target at binagong patayong offset sa pagitan ng kamera at target na eroplano.

Ang matematikal na layer para sa proyeksyong maraming-palapag ay matatagpuan sa heometriyang module ngayon; ang UI ng floor-selector at ang Three.js scene preview ay nakapila para sa release sa hinaharap.

8. Mga palagay at limitasyon

Ang bawat pormula sa itaas ay umaasa sa isang hanay ng mga simplifying na palagay. Mga ito ay tumutugma sa karamihan ng mga sityo ng nakapirming pagkakabit ng CCTV ngunit nagagambala sa mga partikular na kondisyon; ipinapagdokumento natin ang mga ito upang matukoy ng mga practitioner kung kailan magtiwala sa modelo.

Mga palagay ng modelo

• Patag na lupa (ang sahig ay eroplano z = 0) — walang dalisdis ng lupa, walang kurbada ng mundo.
• Static na kamera sa sandali ng pagkuha — walang PTZ na paggalaw sa loob ng frame, walang panginginig.
• Pinhole camera model — walang pagkahubog ng lente. Ang mga totoong lente ay nagdadala ng radial at tangential na pagkahubog ng Brown–Conrady (mga koepisyente k₁, k₂, p₁, p₂) na hindi natin minomodelo.
• Perpektong calibration — ang sensor pixel pitch, distansyang pokal, at optikal na sentro ay eksaktong tumutugma sa mga specification ng tagagawa.
• Walang mga rolling-shutter artifact; ang buong imahe ay nakukuha sa isang pagkakataon.
• Walang camera roll — ang optikal na axis ay naiikot lamang sa pamamagitan ng pan at tilt; ang sensor ay nananatiling pahalang.
• Iisang optikal na daanan — walang refraction sa kristal na simboryo, walang sumasalamin na ibabaw sa eksena.
• Ang atmosperikong refraction ay napakaliit sa karaniwang saklaw ng CCTV (mas mababa sa 1 cm na pagkakamali sa 50 m).

Kapag nagagambala ang modelo

• Matarik na lupa. Ang bakas sa lupa ay lumilipat nang asymmetrically: ang panig na pababa ay umaabot pa kaysa sa hinuhulaan ng modelo, ang panig na pataas ay nagsisikip. Ang pagkakamali ay humigit-kumulang ±h · tan(dalisdis) kada metro ng pahalang na distansya.
• Pagkahubog ng wide-angle na lente. Sa itaas ng ~110° HFOV, ang rektilinear na proyeksyon ay umiiba sa aktwal na mapping ng lente ng 1–5 % sa mga sulok. Available ang ekwidistante / ekwisolido na proyeksyon sa heometriyang layer para sa mga kasong ito (tingnan ang §5).
• Mga kamerang may kristal na simboryo. Ang simboryo ay nagdadala ng maliit na pag-iiba sa refraction sa pagpasok ng lente (mm sa karaniwang taas ng pagkakabit). Para sa mahalagang gawaing DORI sa mga installation na may salamin na kristal, ito ay nagiging hindi-trivial; para sa pangkalahatang pagpaplano ito ay nasa ibaba ng iba pang mga pinagmulan ng pagkakamali.
• Multi-bounce na optics. Ang mga repleksyon mula sa kristal na pader, salamin na kisame, o makinis na sahig ay hindi sinusubaybayan. Ang modelo ay nagbabalik lamang ng line-of-sight na bakas.
• Gumagalaw na PTZ. Ang modelo ay nagbibigay ng instant na bakas sa iisang pan/tilt na setting. Ang saklaw ng gumagalaw na PTZ sa paglipas ng panahon ay swept na bakas, hindi instant.
• Tolerance sa pagkakabit. Ang aktwal na mga anggulong pang-install ay umiiba sa disenyo ng 1–3° (technician error). Tinatasa ng susunod na seksyon kung paano ito kumakalat sa pagkakamali sa lupa.

9. Sensitibidad sa pagkakamali

Ang mga pagkakamali sa input parameter (taas ng pagkakabit, anggulong tilad, FOV) ay kumakalat sa mga pagkakamali ng posisyon sa lupa sa bakas. Para sa interseksyon ng ibabang gilid sa lupa d_near = h / tan(α + vfov/2), ang mga partial derivative ay nagbibigay ng:

∂d_near/∂h = 1 / tan(α + vfov/2)        = d_near / h
∂d_near/∂α = −h / sin²(α + vfov/2)         (radian)
∂d_near/∂vfov = −h / (2 · sin²(α + vfov/2)) (radian)

Ang mga angular partial derivative ay nasa radian; i-multiply sa π/180 (≈ 0.01745) upang i-convert sa per-degree. Inilalapat ng table sa ibaba ang konbersyon.

Para sa karaniwang konpigurasyon (h = 10 m, tilad = 15°, vfov = 50° → d_near ≈ 11.9 m), ang maliliit na pagkakamali sa bawat parameter ay gumagawa ng sumusunod na deviations sa d_near:

Ang nangingibabaw na term ay ang kawalan ng katiyakan ng install-angle: sa konpigurasyong nasa itaas, ang bawat degree ng tilt error ay nagkakahalaga ng ~42 cm sa katumpakan ng posisyon sa lupa sa d_near. Ang laser inclinometer na nagbabasa sa 0.1° resolution ay pinananatiling mas mababa sa 5 cm ang tilt-driven d_near error; ang eyeball-bracket install ay mabuti sa humigit-kumulang ±1 m. Para sa pag-verify ng antas ng DORI (kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng Pagkilatis at Pagkilala ng mga ground ring ay maaaring 2–3 m), ang tilt ay dapat sukatin, hindi tantyahin.

Ang parehong analysis ng partial derivative ay nalalapat sa lateral footprint width sa pamamagitan ng HFOV — ang 1° HFOV error ay gumagawa ng humigit-kumulang 2 · d · tan(½°) ≈ 1.7 % na lateral spread error sa distansya na d. Sa 30 m na saklaw iyon ay ~52 cm ng lateral na kawalan ng katiyakan, kaya tinatrato natin ang HFOV figures ng tagagawa bilang ±1° kaysa eksakto.

10. Reproducibility

Ang lahat ng mga pormula sa artikulong ito ay literal na ipinapatupad sa heometriyang module na kasama sa designer ng CCTVplanner.io. Ang module ay sakop ng komprehensibong unit-test suite na sumasaklaw sa rektilinear / ekwidistante / ekwisolido na proyeksyon, mga edge case ng bulag na lugar, DORI ground projection, polygon Boolean obstacle clipping, at multi-floor extension. Ang bawat diagram sa pahinang ito ay nire-render sa pamamagitan ng pagtawag sa parehong mga function na ginagamit ng live designer.

Pangunahing entry point

• buildFrustum(args) — base ng kamera (forward / right / upCam) + frustum metadata
• computeGroundFootprint(frustum, projection) — sampled polygon (8 / 32 puntos kada gilid)
• slantToGroundRadius(frustum, slantM) — √(slant² − h²) na may reachability check
• computeSegmentShadow / computePolygonShadow — proyeksyon ng anino sa lupa kada segment / kada polygon
• subtractObstacleShadows(footprint, shadows) — Martínez–Rueda polygon difference
• computeFloorFootprint(frustum, z, projection) — multi-floor variant

Default na mga konstante

• defaultLensProjection: rektilinear kapag HFOV < 170°, ekwidistante kapag hindi
• SAMPLES_PER_EDGE: 8 para sa rektilinear, 32 para sa fisheye projections
• Distansya ng pagputol ng anino: renderRange × 4 (sumasaklaw sa pagputol ng malayong gilid sa anumang makatwirang distansya ng sagabal)
• Pahalang na clamp ng malayong gilid: ang mga sinag na ang ground intersection ay lumalampas sa renderRange sa pahalang na distansya ay nai-project pabalik sa renderRange sa kanilang pahalang na direksyon (pinipigilan ang stray-line artifacts malapit sa abot-tanaw sa malayong arko ng polygon).

Pag-reproduce ng matematika mula sa simula: bumuo ng CameraFrustum sa nai-publish na hugis { x, y, h, panDeg, tiltDeg, hfovDeg, vfovDeg, renderRangeM, pixelsPerMeter }; sample ang mga sulok ng eroplano ng imahe sa sH, sV ∈ [−1, +1] na may 8 sample kada gilid (32 para sa fisheye); kruson ang bawat sinag sa eroplano z = 0; ilapat ang polygon-clipping difference para sa shadow subtraction. Maliban sa IEEE 754 ordering effects sa polygon Boolean step, ang resulta ay tumutugma sa polygon na ni-render ng live designer sa floating-point precision (sub-millimeter sa real-scale na input).

Mga sanggunian

• IEC 62676-4:2014 (kasama ang mga amyenda) — Mga sistema ng video surveillance para sa paggamit sa mga security application, bahagi 4: mga gabay sa application (DORI, mga distansya ng target). Magkapareho ang teksto na nai-publish bilang EN 62676-4 sa edisyong Europa.
• Hartley & Zisserman, Multiple View Geometry in Computer Vision, ika-2 ed., Cambridge University Press, 2004 (mga modelo ng camera projection, frustum geometry).
• Kannala & Brandt, "A generic camera model and calibration method for conventional, wide-angle, and fish-eye lenses," IEEE TPAMI, 2006 (paghahambing ng rektilinear / ekwidistante / ekwisolido na proyeksyon).
• Martínez, Rueda & Feito, "A new algorithm for computing Boolean operations on polygons," Computers & Geosciences, 2009 — orihinal na Martínez–Rueda algorithm. Ang sumunod sa 2013 na "A simple algorithm for Boolean operations on polygons" (Advances in Engineering Software) ay ang variant na ipinatupad sa polygon-clipping na library na ginagamit dito.