CCTVカメラの撮影範囲の幾何学

要旨

ピンホールカメラモデルから、傾けてマストに取り付けた CCTV カメラの地上フットプリントを導出する。すなわち、近端・遠端の交点、取り付け位置の真下にできる幾何学的な死角、そして EN 62676-4 の DORI 目標距離を地上の円弧として描いたものである。以下の各図版はいずれも、CCTVplanner デザイナーに同梱される幾何モジュールがその場で算出する — スライダーを動かせば各結果を再現できる。最後に、レンズ投影モデル、データシートの HFOV/DFOV の落とし穴、障害物による影、パラメータの誤差収支、そしてこのモデルが信頼できる前提条件を扱う。

表記規約

地面: 平面 z = 0
カメラ: 光学中心は高さ z = h
座標軸: +x 右 · +y 前方 · +z 上
チルト α: 水平から下向きに測る
光線: 光学中心から基底 (f, r, u) で射出
角度: 導出ではラジアン、図版では度

適用範囲 — 本ノートが扱わないもの

カメラの光線がどこに到達するかを扱う、純粋に幾何学的なモデルである。明示した前提の範囲内では幾何学的に厳密であり — 適用範囲は限られるものの、数学的には正確である。次のものはモデル化を試みていない：

画質やセンサーノイズ
映像圧縮によるアーティファクト
照明、低照度、または赤外線（IR）の到達距離
AI・映像解析の検出精度

1視錐台から地上フットプリントへ

ピンホールカメラは視錐台（ビューフラスタム）を定義する。これは、カメラの光学中心から像面の境界へと広がる四角錐である。各像点 — 離散的な実装では画素の中心 — は、光学中心から像面を通る視線光線を定義する。カメラがカバーする地面の領域を求めるには、各光線を地面平面と交差させ、カメラの有効距離内にある点だけを残す。ここでピンホールモデルを用いるのは、解析的に扱いやすい近似を与え、かつ EN 62676-4 の幾何学的前提および大半の固定式 CCTV カメラの公表仕様と整合するためである。

高さ h にあり、水平から α 下向きに傾けられ、垂直視野角 vfov を持つカメラの場合、撮影範囲の外側の包絡線は像の境界によって描かれる — 直線射影（レクチリニア）投影では四隅の光線だけがこれを定義し、魚眼投影では境界全体に沿ってサンプリングされる。一般的な取り付け（ $\alpha + \tfrac{\text{vfov}}{2} < 90^\circ$ の場合）では、その形状は角の丸まったおおよそ台形のフットプリントであり、取り付け位置を起点とする三角形や扇形ではない。 $\alpha + \tfrac{\text{vfov}}{2}$ が 90° に近づくと（急角度の天井ドーム）、像の下端は地面のマスト基部で交わり、フットプリントは扇形へと退化する。

Figure 1真上から見た地表フットプリント

h 高さ4 mα チルト26 °H 水平画角102 °R 有効距離28 m

Fig. 1. 実運用の幾何モジュールによる地上フットプリント。下端はカメラのやや前方で地面と交わり、左右の端は外側へ広がり、遠端は有効距離でクランプされる。hfov を 180° を超えて広げると、フットプリントは全周の円盤状に巻き込まれる。

2近端・遠端の交点

各像面サンプル (s_H, s_V) ∈ [−1, 1]² は、カメラ座標系における視線光線の方向へ写像される：

\mathbf{d}(s_H, s_V) = \mathbf{f} + s_H\tan\tfrac{\text{HFOV}}{2}\,\mathbf{r} + s_V\tan\tfrac{\text{VFOV}}{2}\,\mathbf{u}

(1)

ここで f, r, u はそれぞれ前方・右・上のカメラ基底ベクトルである（パンとチルトはすでに適用済み） — ここで HFOV と VFOV が幾何に入り込む。光学中心から d 方向へ伸びる光線を地面平面 z = 0 と交差させると、各フットプリントサンプルが得られる。下端の光線（s_V = −1）は近距離で地面と交わり、上端の光線（s_V = +1）は遠距離で交わる：

d_{\text{near}} = \dfrac{h}{\tan\!\left(\alpha + \frac{\text{vfov}}{2}\right)}

(2)

d_{\text{far}} = \begin{cases} \dfrac{h}{\tan\!\left(\alpha - \frac{\text{vfov}}{2}\right)}, & \alpha > \tfrac{\text{vfov}}{2}\ \ (\text{below horizon}) \\[10pt] \infty \ \rightarrow\ \text{clamp to } R, & \alpha \le \tfrac{\text{vfov}}{2}\ \ (\text{edge above horizon}) \end{cases}

(3)

Figure 2側面図 — 光線、地表ストリップ、死角

h 高さ6 mα チルト16 °β 垂直画角48 °R 有効距離38 m

Fig. 2. 側面図。2 本の青い線は下端と上端の光線であり、太い青い帯はカメラが床面を結像する範囲（d_near → d_far）を示す。マストの下にある赤い楔形は、どの光線も届かない領域である。h を上げると死角が広がる様子が分かる（§3）。α を vfov/2 より下げると、遠端が地平線を越えて上昇し、有効距離にクランプされる。

左右の端（s_H = ±1）についても、同じ構成を水平面上で行う。直線射影（レクチリニア）レンズ（CCTV で主流の光学系）では、これらは外側へ発散する直線に投影され — 台形の斜辺となる。魚眼レンズでは写像は曲線となり、フットプリントは湾曲した円盤になる。

3幾何学的な死角

地面より高い位置に取り付けられ、 $90^\circ - \tfrac{\text{vfov}}{2}$ 未満に傾けられたカメラでは、取り付け位置の真下に光線がまったく届かない領域ができる。d_near より近いものはすべて完全に像の外にあり、チルトと FOV を固定すると、死角は高さに比例して拡大する：

d_{\text{near}} = h\,\cot\!\left(\alpha + \tfrac{\text{vfov}}{2}\right), \qquad \frac{\partial d_{\text{near}}}{\partial h} = \cot\!\left(\alpha + \tfrac{\text{vfov}}{2}\right)

(4)

チルト 15°、垂直 FOV 50° のカメラでは、高さ 4 m で死角は 4.8 m、高さ 20 m で 23.8 m となる — 高さの比と一致する 5× の比である。死角面積とカバー面積の比は、高所マスト設置における最大の制約となる。

4DORI 距離域（EN 62676-4）

DORI 規格（Detect / Observe / Recognize / Identify）は、目標とする画素密度を定義する — Identify 250、Recognize 125、Observe 62.5、Detect 25 px/m である。ある密度は、レンズからの特定の斜距離（視線方向の距離）で達成される。これは結像関係式 $\text{px/m} = f\cdot\text{res}/(\text{sensor}\cdot d)$ における物体距離である。この段階（tier）を 2D 平面図上に配置するために、デザイナーはその斜距離を地面へ投影し、半径 $\sqrt{d_{\text{slant}}^{2} - h^2}$ （モジュールの slantToGroundRadius）の水平な円環とし、フットプリントで切り取る。したがって円弧は、段階ごとの斜距離から導かれた地上の水平半径である — 斜距離と一致するのは地表レベルのカメラの場合のみで、取り付け位置が高くなるほど内側へ引き寄せられる。第 10 節では、これらの px/m の段階を、世界の他地域で用いられる画面高比、ピクセル毎フィート、ラインペアの各基準に対応づける。

Figure 3地表円弧としてのDORIリング

Identify
250 px/m

Recognize
125 px/m

Observe
62.5 px/m

Detect
25 px/m

h 高さ4 mα チルト20 °H 水平画角90 °R 有効距離70 m

Fig. 3. フットプリント内の DORI 段階。段階ごとの斜距離（8 / 16 / 32 / 64 m、HFOV 約 90° の 1080p カメラの例示値）は、エンジンの slantToGroundRadius によって地面に投影されるため、各ラベルは水平半径

\sqrt{d^2 - h^2}

を示している。h を上げると近い段階は内側へ引き寄せられ、カメラが斜距離の球面より上に位置すると消える。hfov を狭めると、視野コーンが細くなりすぎて外側の円環を保持できなくなる。

地上への投影。 各段階の斜距離は、地上の水平半径になる：

r_{\text{ground}} = \sqrt{\,d_{\text{slant}}^{\,2} - h^2\,}

(5)

6 m の高さに取り付けたカメラで、Identify 段階（250 px/m）が斜距離 8 m で達成される場合、地上の水平半径は 5.3 m（ $\sqrt{64 - 36}$ ）となる。これはまさに、デザイナー、PDF、DXF の各エクスポートがすべての段階に適用している投影である。（レガシーのフォールバック — PTZ カメラや、取り付け高さ・死角の設定を持たないカメラ — では、高さ補正を行わず、生の斜距離をそのまま平面上の半径として描画する。）

5レンズ投影モデル

レンズ設計が異なると、光軸からの角度 θ を像面上の半径 r(θ) へ写像する仕方が異なる。CCTV で用いられる 3 つは次のとおり：

投影方式	r(θ)	代表的な範囲
Rectilinear	$f\tan\theta$	HFOV ≲ 120° — 大半の固定・バリフォーカルレンズ
Equidistant	$f\,\theta$	HFOV ≳ 140° — パノラマ・魚眼
Equisolid	$2f\sin(\theta/2)$	立体角を保存する魚眼

直線射影レンズでは、軸外因子 $\tan\theta$ は θ が 45°（HFOV > 90°）を超えると 1 を上回り、θ → 90° で発散する。数値的な近似として — 光学系の性質ではなく実装上の選択として — CCTVplanner は HFOV 170° まで直線射影を用い、その先は安定性のため等距離射影に切り替える。等立体角射影は、それを明記したメーカーデータに対応するため幾何レイヤーでサポートされている。

データシートの落とし穴：HFOV と DFOV

多くのメーカー — 特に Dahua、Hikvision、Uniview、Tiandy — は、実際には対角視野角（DFOV）である単一の FOV 値を公表している。HFOV を期待するツールに DFOV を入力すると、フットプリントは 10〜15% 広くなりすぎ、その誤差は画素密度が最も重要となる左右の端に集中する。アスペクト比 a（16:9 → a = 16/9）のセンサーの場合：

\tan\tfrac{\text{HFOV}}{2} = \tan\tfrac{\text{DFOV}}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}, \qquad \tan\tfrac{\text{VFOV}}{2} = \tan\tfrac{\text{DFOV}}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}

(6)

この写像は非線形である。一見魅力的な線形の近道 $\text{HFOV} \approx k\cdot\text{DFOV}$ は狭角レンズでは通用するが、視野が広がると大きく破綻する。16:9 センサーの場合：

DFOV	厳密なHFOV	厳密なVFOV	線形近似の誤差
60°	53.4°	31.6°	−1.1°
80°	72.4°	44.7°	−2.6°
100°	92.2°	60.6°	−5.0°
120°	113.0°	80.7°	−8.4°
140°	134.7°	106.8°	−12.7°

6障害物、影、そして可視フットプリント

壁やフェンスは光線を遮る。不透明な障害物はそれぞれ多角形または折れ線としてモデル化され、各線分はカメラから遠ざかる向きへ描画距離の数倍まで投影される。これら線分ごとの影の和集合が、障害物のシルエットとその背後にあるすべてを表す。可視フットプリントはそこで $\text{footprint} \setminus \bigcup \text{shadows}$ となり、Martínez–Rueda の多角形差分アルゴリズムによって求められる。

3D を考慮した解析では、カメラより低い障害物は有限の地上の影を落とす。水平距離 d、カメラ高さ h_cam、障害物の上端 h_obs の壁について：

d_{\text{shadow}} = d\cdot\dfrac{h_{\text{cam}}}{h_{\text{cam}} - h_{\text{obs}}}\quad (h_{\text{cam}} > h_{\text{obs}})

(7)

$h_{\text{obs}} \ge h_{\text{cam}}$ の場合、障害物は視線を完全に遮る — 無限の影となり、完全に不透明な遮蔽物として扱われる。建物や一般的な障害物では、カメラが構造物より上にある限り、この有限高さモデルが常に適用される。フェンスでは「垂直高さを使用（3D）」トグル（既定：不透明な遮蔽物）によって切り替えられる。影の終端の計算は obstacleTypes.ts にあり、obstacleClipping.ts が多角形差分の減算を実行する。

7複数フロアへの投影

視錐台と地面の交差は、任意の水平面へ一般化できる。 $z = 0$ を $z = z_{\text{target}}$ に置き換え、各隅の光線について同じ光線・平面の方程式を解けば、そのフロア上のフットプリントが得られる。吹き抜け（アトリウム）の 2 階にあるカメラは、同じ構成で 1 階をカバーする — z_target と垂直方向のオフセットが異なるだけである。

8前提と限界

上記のすべての式は、単純化のための前提の上に成り立っている。これらは大半の固定設置 CCTV では成り立つが、特定の条件下では破綻する — 技術者がモデルを信頼してよい場面を判断できるよう、以下に明記する。

モデルの前提

平坦な地面 $(z = 0)$ — 傾斜も地球の曲率もない。
撮影時にカメラは静止 — PTZ の動きも振動もない。
ピンホールモデル — Brown–Conrady のレンズ歪み（k₁, k₂, p₁, p₂）はない。
理想的な校正 — チルト、焦点距離、光学中心が仕様どおり。
ローリングシャッターなし。フレーム全体が一瞬で撮影される。
カメラのロールなし。センサーは水平を保つ。
単一の光路 — ドームによる屈折も反射もない。

破綻する場合

傾斜地 — フットプリントが非対称にずれ、誤差は 1 メートルあたり約 ±h·tan(slope)。
広角の歪み — HFOV 約 110° を超えると、直線射影は四隅で数パーセント外れることがある（レンズ、校正、モデルに依存）。
ガラスドーム — ミリメートル規模の屈折によるずれ。高精度の DORI でのみ問題となる。
多重反射の光学 — 反射は追跡されない。視線方向のみ。
動作中の PTZ — モデルは 1 つのパン／チルトを与える。カバー範囲は掃引されたフットプリントである。
設置公差 — 実際の角度は 1〜3° ずれる。§9 でその影響を定量化する。

9誤差感度

入力誤差（高さ、チルト、FOV）は地上位置の誤差へ伝播する。近端の交点 $d_{\text{near}} = h/\tan(\alpha + \text{vfov}/2)$ について、偏微分は次のとおり：

\begin{gathered} \dfrac{\partial d_{\text{near}}}{\partial h} = \dfrac{d_{\text{near}}}{h}, \quad \dfrac{\partial d_{\text{near}}}{\partial \alpha} = \dfrac{-h}{\sin^2(\alpha + \text{vfov}/2)}, \quad \dfrac{\partial d_{\text{near}}}{\partial\,\text{vfov}} = \dfrac{-h}{2\sin^2(\alpha + \text{vfov}/2)} \\[5pt] \footnotesize (\alpha,\ \mathrm{vfov}\ \text{in radians}) \end{gathered}

(8)

角度に関する偏微分はラジアン単位である（度あたりにするには $\pi/180$ を掛ける）。典型的な構成（h = 10 m、チルト = 15°、vfov = 50° → d_near ≈ 11.9 m）の場合：

パラメータ	入力誤差	Δ d_near	備考
tilt α	±1°	±0.42 m	傾斜計の分解能
tilt α	±3°	±1.27 m	目分量でのブラケット取り付け
height h	±0.5 m	±0.59 m	巻尺、手の届かないマスト
vfov	±1°	±0.21 m	データシートの丸め
combined	RMS	~1.4 m	at 3° + 0.5 m + 1°

端的に言えば、1° の設置誤差は Identify 領域を出入口の幅以上に移動させ得る。設置角度の不確かさが支配的である。ここではチルト誤差 1 度ごとに d_near で約 42 cm のずれが生じる。0.1° まで測れるレーザー傾斜計を使えばチルト起因の誤差は 5 cm 未満に抑えられるが、目分量のブラケットではせいぜい約 ±1 m の精度にとどまる。DORI 段階の検証 — Recognize と Identify の円環が 2〜3 m 離れて位置し得る場面 — では、チルトは推定ではなく測定すべきである。

10各規格における目標距離の判定基準

DORI は国際的な共通語であるが、設計者は管轄地域が定める規格の下で作業する。どの枠組みも同じ物理量 — ある距離における必要な精細さ — を、4 つの単位のいずれかで表現する。すなわち、ピクセル毎メートル、画面高に対する割合、ピクセル毎フィート、または Johnson のラインペアである。上記の幾何はまったく同一であり、変わるのは読み取り方だけである。

地域	規格	単位	Detect / Recognise / Identify	DORI との比較
Intl · EU	IEC / EN 62676-4 (2014·2025)	px/m	25 / 125 / 250 (Obs 62.5)	基準となる階梯
EU legacy	EN 50132-7:2012	% screen	10% / 50% / 100%	画面高方式
UK	HOSDB 28/09 · Rotakin	% screen	10% / 50% / 100%†	= EN 50132-7
AU · NZ	AS 4806.2 → AS/NZS 62676	% → px/m	10% / 50% / 100% → DORI	DORI へ移行中
US	DHS S&T handbook · PPF	px/ft	~10 / 40 / 80 ppf	DORI × 0.305
China	GB 37300-2018	px on target	body ≥200 · face ≥300 · plate ≥100	対象上のピクセル数
UAE	Dubai SIRA	px/m	63.5 / 125 / 250	≈ DORI
India	BIS IS 16910-4	px/m	= DORI	IEC 62676-4 を採用
Russia	GOST R 51558-2014 ‡	inter-eye px	face ID ≥60 px IED ‡	D/R/I を部分的に規定
Mil · thermal	Johnson 1958 · TTP	line-pairs	1.0 / 4.0 / 6.4 cyc	基礎となるモデル
Face biometric	ISO/IEC 19794-5 · 39794-5	inter-eye px	~10 / ~40 / ≥90 (IED)	Identify の下限値

† 英国の Identify = 画面高の 100%（HOSDB 28/09、2009 年）。それ以前の PSDB 17/94 / Rotakin 仕様では 120% を用いた。基準は約 1.6〜1.7 m の基準人物に対するものである。‡ ロシアの GOST R 51558 についてはここでは信頼度が低い — 原典は有料であり、二次資料の記述も一致しないため、値は目安として扱うこと。顔生体認証の IED = 両眼間（瞳孔間）距離：「Identify」が最終的に依拠する画素数の下限である。

すべての管轄地域が数値を定めているわけではない。カナダ（RCMP GCPSG-011）、および実務上はサウジアラビア（HCIS）では、決められた画素目標ではなく、現地のリスクアセスメントによってカメラ性能を正当化することを求めている。また、日本には CCTV 距離に関する専用の判定基準は公表されていない。

IEC 62676-4 の 2025 年改訂版は、4 段階の DORI に代えて 7 段階の OODPCVS 階梯 — Overview、Outline、Discern、Perceive、Characterise、Validate、Scrutinise — を、それぞれ 20 / 40 / 80 / 125 / 250 / 500 / 1500 px/m で定める。CCTVplanner のエンジンは両方を計算する。

4 つの単位はいずれも同じものを測っているため、センサー解像度と対象の大きさが与えられれば、正確に相互変換できる：

\begin{aligned} \text{ppf} &= 0.3048 \times (\text{px/m}) \\[3pt] \%\,\text{screen height} &= 100\cdot\frac{(\text{px/m})\cdot H_{\text{target}}}{V_{\text{pixels}}} \\[3pt] \text{px/m} &= \frac{2N}{d_c}\ \ (N=\text{Johnson line-pairs},\ d_c=\text{critical dim.}) \end{aligned}

(9)

したがって、エンジン内の 1 つの距離は、250 px/m（DORI の Identify）、画面高 100%（EN 50132-7 / HOSDB）、76 px/ft（米国）、または 6.4 ラインペア（Johnson）として読み出される — 同じカメラを、4 つの語彙で表しているにすぎない。

11よくある誤解

机上の設計と実際に設置されるものとの乖離の大半は、4 つの混同に起因する — いずれも上記の幾何から直接導かれる帰結である。

✗HFOV は DFOV と同じである。

✓データシートはしばしば対角 FOV を掲載している。これを水平として使うと、フットプリントは 10〜15% 過大に広がり、あらゆる DORI 距離が水増しされる（§5）。

✗レンズが広角なほどカバー範囲が良くなる。

✓広角レンズは同じ画素をより広いシーンに広げるため、画素密度 — そしてあらゆる DORI 距離 — は低下する。面積は増えるが、識別できる精細さは減る。

✗高く取り付けるほど常に見やすくなる。

✓高さは死角を線形に増大させ（§3）、見下ろす角度を急にする。ある点を超えると、顔よりも頭頂部や屋根を多く写すようになる。

✗DORI 距離はそのまま地上半径として平面図に描ける。

✓px/m が達成されるのは斜距離（視線方向の距離）である。平面図上の円環はその地上への投影 √(slant²−h²) であり、カメラを高く取り付けるほど内側へ引き寄せられる（§4）。

12再現性

ここに示したすべての式は、CCTVplanner デザイナーに同梱される幾何モジュールに直接実装されている — 数値サンプリング、多角形クリッピング、浮動小数点の演算順序を除いて近似は行っていない — そして、直線射影 / 等距離射影 / 等立体角射影の各投影、死角のエッジケース、DORI の地上投影、多角形ブール演算による障害物クリッピング、および複数フロア拡張にわたるユニットテスト群でカバーされている。本ページのすべての図版は、これらと同じ関数を呼び出している。

主要なエントリポイント

buildFrustum(args) — カメラ基底 + 視錐台メタデータ
computeGroundFootprint(frustum, projection) — サンプリングされたフットプリント多角形
slantToGroundRadius(frustum, slantM) — $\sqrt{d^2 - h^2}$ 到達可能性チェック付き
subtractObstacleShadows(footprint, shadows) — Martínez–Rueda 差分
computeFloorFootprint(frustum, z, projection) — 複数フロア版

§参考文献

[1]IEC 62676-4:2014（追補を含む） — Video surveillance systems for use in security applications, Part 4: Application guidelines（DORI 目標距離）。欧州では EN 62676-4 として発行。
[2]Hartley & Zisserman、Multiple View Geometry in Computer Vision、第 2 版、Cambridge University Press、2004 年。
[3]Kannala & Brandt、「A generic camera model and calibration method for conventional, wide-angle, and fish-eye lenses」、IEEE TPAMI、2006 年。
[4]Martínez, Rueda & Feito、「A new algorithm for computing Boolean operations on polygons」、Computers & Geosciences、2009 年 — 2013 年の続報が Advances in Engineering Software に掲載。
[5]Szeliski、Computer Vision: Algorithms and Applications、第 2 版、Springer、2022 年（投影モデル、カメラ幾何 — 標準的な参考文献）。
[6]EN 50132-7:2012 — Alarm systems, CCTV surveillance systems, Part 7: Application guidelines（画面高による運用要件。EN 62676-4 により置き換え）。
[7]IEC 62676-4:2025（第 2 版） — OODPCVS の 7 段階の画素密度階梯を導入する Application guidelines。
[8]US DHS Science & Technology、Digital Video Quality Handbook、2013 年（2018 年更新） — 公共安全向け映像のためのピクセル毎フィートのガイダンス。
[9]GB 37300-2018 — Public security video surveillance（中国、強制規格）、§5.6 目標画素要件。
[10]Johnson, J.（1958 年）、「Analysis of image-forming systems」、Proc. Image Intensifier Symposium — その後継である NVESD の Targeting Task Performance（TTP）、Vollmerhausen & Jacobs、Opt. Eng. 43(11)、2004 年。
[11]ISO/IEC 19794-5:2011 & ISO/IEC 39794-5:2019 — Biometric face-image data（顔認識および登録のための両眼間画素基準）。

引用方法

CCTVplanner Research. The Geometry of CCTV Camera Coverage. 技術ノート CP-TN-01、v1.0、2026 年。cctvplanner.io/camera-physics

@techreport{cctvplanner-cptn01-2026,
  title   = {The Geometry of CCTV Camera Coverage},
  author  = {{CCTVplanner Research}},
  number  = {CP-TN-01},
  version = {1.0},
  year    = {2026},
  url     = {https://cctvplanner.io/camera-physics}
}

本ノートのすべての図版は、CCTVplanner デザイナーが使用するのと同じ幾何エンジンによって生成されている。

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