Геометрія покриття CCTV-камери

Анотація

На основі моделі камери-обскури ми виводимо наземний слід нахиленої CCTV-камери, встановленої на щоглі: перетини ближнього та дальнього країв, геометричну сліпу зону безпосередньо під кріпленням та цільові відстані DORI зі стандарту EN 62676-4, зображені як наземні дуги. Кожен рисунок нижче обчислюється в реальному часі геометричним модулем, що постачається з конструктором CCTVplanner — рухайте повзунки, щоб відтворити кожен результат. Наприкінці ми розглядаємо моделі проєкції об'єктива, пастку HFOV/DFOV у технічних характеристиках, затінення перешкодами, бюджет похибок параметрів та припущення, за яких моделі можна довіряти.

Умовні позначення

земля: площина z = 0
камера: оптичний центр на висоті z = h
осі: +x right · +y forward · +z up
нахил α: відлічується вниз від горизонталі
промені: виходять з оптичного центру в базисі (f, r, u)
кути: радіани у похідних; градуси на рисунках

Межі — чим ця нотатка не є

Суто геометрична модель того, куди потрапляють промені камери. У межах заявлених припущень вона є геометрично точною — математично строгою, хоча й обмеженою за обсягом. Вона не намагається моделювати:

якість зображення чи шум сенсора
артефакти стиснення відео
освітлення, слабке освітлення чи дальність дії IR
точність виявлення ШІ / аналітики

1Від фрустуму до наземного сліду

Камера-обскура визначає видовий фрустум: чотиригранну піраміду, що простягається від оптичного центру камери до меж її площини зображення. Кожна точка зображення — центр пікселя у дискретній реалізації — визначає промінь зору від оптичного центру крізь площину зображення. Щоб знайти ділянку землі, яку охоплює камера, ми перетинаємо кожен промінь із площиною землі й залишаємо точки в межах дальності камери. Модель камери-обскури використовується тут тому, що дає аналітично зручне наближення, яке відповідає геометричним припущенням EN 62676-4 та опублікованим характеристикам більшості стаціонарних CCTV-камер.

Для камери на висоті h, нахиленої на α нижче горизонталі, з вертикальним полем зору vfov, зовнішню оболонку покриття окреслює межа зображення — для прямолінійної проєкції її задають лише чотири кутові промені, тоді як для проєкцій «риб'яче око» вона відбирається вздовж усієї межі. За типових кріплень (де $\alpha + \tfrac{\text{vfov}}{2} < 90^\circ$ ) форма є приблизно трапецієподібним слідом із заокругленими кутами — а не трикутником чи сектором, що виходить із кріплення. Коли $\alpha + \tfrac{\text{vfov}}{2}$ наближається до 90° (круті стельові куполи), нижній край зображення сягає землі біля основи щогли, і слід вироджується у сектор.

Figure 1Проєкція сліду на землю (вид зверху)

h висота4 mα нахил26 °H HFOV102 °R дальність28 m

Fig. 1. Наземний слід із робочого геометричного модуля. Нижній край сягає землі невдовзі перед камерою; бічні краї розходяться віялом; дальній край обмежено на ефективній дальності. Розширте hfov понад 180° — і слід замкнеться у повний диск.

2Перетин ближнього та дальнього країв

Кожен відлік площини зображення (s_H, s_V) ∈ [−1, 1]² відображається у напрямок променя зору в системі координат камери:

\mathbf{d}(s_H, s_V) = \mathbf{f} + s_H\tan\tfrac{\text{HFOV}}{2}\,\mathbf{r} + s_V\tan\tfrac{\text{VFOV}}{2}\,\mathbf{u}

(1)

де f, r, u — базисні вектори камери вперед / праворуч / вгору (панорамування та нахил уже застосовано) — саме тут HFOV і VFOV входять у геометрію. Перетин променя з оптичного центру вздовж d із площиною землі z = 0 дає кожен відлік сліду. Промінь нижнього краю (s_V = −1) сягає землі на ближній відстані, промінь верхнього краю (s_V = +1) — на дальній:

d_{\text{near}} = \dfrac{h}{\tan\!\left(\alpha + \frac{\text{vfov}}{2}\right)}

(2)

d_{\text{far}} = \begin{cases} \dfrac{h}{\tan\!\left(\alpha - \frac{\text{vfov}}{2}\right)}, & \alpha > \tfrac{\text{vfov}}{2}\ \ (\text{below horizon}) \\[10pt] \infty \ \rightarrow\ \text{clamp to } R, & \alpha \le \tfrac{\text{vfov}}{2}\ \ (\text{edge above horizon}) \end{cases}

(3)

Figure 2Вид збоку — промені, наземна смуга, сліпа зона

h висота6 mα нахил16 °β VFOV48 °R дальність38 m

Fig. 2. Вигляд збоку. Дві сині лінії — це промені нижнього та верхнього країв; товста синя смуга — це ділянка, де камера формує зображення підлоги (d_near → d_far). Червоний клин під щоглою — це ділянка, якої не сягає жоден промінь. Підніміть h, щоб побачити, як росте сліпа зона (§3); опустіть α нижче vfov/2 — і дальній край підніметься вище горизонту й обмежиться дальністю.

Для бічних країв (s_H = ±1) та сама побудова виконується в горизонтальній площині. Для прямолінійних об'єктивів (переважна CCTV-оптика) вони проєктуються у розбіжні прямі — похилі сторони трапеції. Для об'єктивів «риб'яче око» відображення викривлене, і слід стає викривленим диском.

3Геометрична сліпа зона

Для будь-якої камери, встановленої над землею й нахиленої менш ніж на $90^\circ - \tfrac{\text{vfov}}{2}$ , ділянка безпосередньо під кріпленням не отримує жодного променя. Усе ближче за d_near повністю поза зображенням, і за фіксованих нахилу та FOV сліпа зона масштабується лінійно з висотою:

d_{\text{near}} = h\,\cot\!\left(\alpha + \tfrac{\text{vfov}}{2}\right), \qquad \frac{\partial d_{\text{near}}}{\partial h} = \cot\!\left(\alpha + \tfrac{\text{vfov}}{2}\right)

(4)

Камера з нахилом 15° і вертикальним FOV 50° має сліпу зону 4.8 m на висоті 4 m і 23.8 m на висоті 20 m — співвідношення 5×, що відповідає співвідношенню висот. Відношення сліпої площі до площі покриття є визначальним обмеженням для розміщення на високій щоглі.

4Діапазони DORI (EN 62676-4)

Стандарт DORI (Detect / Observe / Recognize / Identify) визначає цільові щільності пікселів — Identify 250, Recognize 125, Observe 62.5, Detect 25 px/m. Задана щільність досягається на певній похилій відстані (за лінією зору) від об'єктива: відстані до об'єкта у співвідношенні формування зображення $\text{px/m} = f\cdot\text{res}/(\text{sensor}\cdot d)$ . Щоб розмістити рівень на 2D-карті, конструктор проєктує цю похилу відстань на землю як горизонтальне кільце радіусом $\sqrt{d_{\text{slant}}^{2} - h^2}$ (модульна slantToGroundRadius), обрізане слідом. Отже, дуги — це горизонтальні наземні радіуси, виведені з похилої відстані рівня — вони дорівнюють похилій відстані лише для камери на рівні землі й підтягуються всередину, коли кріплення піднімається. Розділ 10 зіставляє ці рівні px/m із критеріями висоти екрана, пікселів на фут та ліній-пар, що вживаються деінде у світі.

Figure 3Кільця DORI як наземні дуги

Identify
250 px/m

Recognize
125 px/m

Observe
62.5 px/m

Detect
25 px/m

h висота4 mα нахил20 °H HFOV90 °R дальність70 m

Fig. 3. Рівні DORI всередині сліду. Похилі відстані рівнів (8 / 16 / 32 / 64 m, ілюстративні для камери 1080p за ~90° HFOV) проєктуються на землю функцією slantToGroundRadius рушія, тож кожна позначка показує горизонтальний радіус

\sqrt{d^2 - h^2}

. Підніміть h — і ближні рівні підтягуються всередину, а потім зникають, щойно камера опиняється над похилою сферою. Звузьте hfov — і конус стає надто вузьким, щоб утримати зовнішні кільця.

Наземна проєкція. Похила відстань кожного рівня стає горизонтальним наземним радіусом:

r_{\text{ground}} = \sqrt{\,d_{\text{slant}}^{\,2} - h^2\,}

(5)

Камера, встановлена на висоті 6 m, чий рівень Identify (250 px/m) досягається на похилій відстані 8 m, охоплює горизонтальний наземний радіус 5.3 m ( $\sqrt{64 - 36}$ ). Саме таку проєкцію конструктор та експорт у PDF і DXF застосовують до кожного рівня. (Застарілий запасний варіант — PTZ-камери та камери без налаштування висоти кріплення / сліпої зони — креслить необроблену похилу відстань як плаский радіус без корекції на висоту.)

5Моделі проєкції об'єктива

Різні конструкції об'єктивів по-різному відображають кут θ від оптичної осі на радіус r(θ) площини зображення. Три, що вживаються в CCTV:

Проєкція	r(θ)	Типовий діапазон
Rectilinear	$f\tan\theta$	HFOV ≲ 120° — більшість стаціонарних та варіфокальних об'єктивів
Equidistant	$f\,\theta$	HFOV ≳ 140° — панорамні / «риб'яче око»
Equisolid	$2f\sin(\theta/2)$	«Риб'яче око» зі збереженням тілесного кута

Для прямолінійних об'єктивів позаосьовий множник $\tan\theta$ перевищує 1, щойно θ проходить 45° (HFOV > 90°), і розбігається як θ → 90°. Як числове наближення — вибір реалізації, а не властивість оптики — CCTVplanner застосовує прямолінійну модель до 170° HFOV, а потім перемикається на еквідистантну задля стабільності; еквісолідна підтримується у геометричному шарі для даних виробників, які її задають.

Пастка технічних характеристик: HFOV проти DFOV

Багато виробників — зокрема Dahua, Hikvision, Uniview, Tiandy — наводять єдине число FOV, яке насправді є діагональним полем зору (DFOV). Подавання DFOV в інструмент, що очікує HFOV, дає слід на 10–15% заширокий, причому похибка зосереджена на бічних краях, де щільність пікселів має найбільше значення. Для сенсора зі співвідношенням сторін a (16:9 → a = 16/9):

\tan\tfrac{\text{HFOV}}{2} = \tan\tfrac{\text{DFOV}}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}, \qquad \tan\tfrac{\text{VFOV}}{2} = \tan\tfrac{\text{DFOV}}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}

(6)

Відображення нелінійне: спокусливе лінійне спрощення $\text{HFOV} \approx k\cdot\text{DFOV}$ працює для вузьких об'єктивів, але сильно хибить у міру розширення поля. Для сенсора 16:9:

DFOV	Точний HFOV	Точний VFOV	Похибка лінійного наближення
60°	53.4°	31.6°	−1.1°
80°	72.4°	44.7°	−2.6°
100°	92.2°	60.6°	−5.0°
120°	113.0°	80.7°	−8.4°
140°	134.7°	106.8°	−12.7°

6Перешкоди, тіні та видимий слід

Стіни та паркани перекривають промені. Кожна непрозора перешкода моделюється як полігон або полілінія; кожен сегмент проєктується геть від камери на кілька дальностей відображення, а об'єднання цих посегментних тіней є силуетом перешкоди плюс усе, що позаду неї. Видимий слід тоді дорівнює $\text{footprint} \setminus \bigcup \text{shadows}$ — за алгоритмом полігональної різниці Martínez–Rueda.

Для 3D-аналізу перешкода, нижча за камеру, відкидає скінченну наземну тінь. Для стіни на горизонтальній відстані d, висоти камери h_cam, верху перешкоди h_obs:

d_{\text{shadow}} = d\cdot\dfrac{h_{\text{cam}}}{h_{\text{cam}} - h_{\text{obs}}}\quad (h_{\text{cam}} > h_{\text{obs}})

(7)

За $h_{\text{obs}} \ge h_{\text{cam}}$ перешкода повністю перекриває лінію зору — нескінченна тінь, що трактується як цілком непрозорий блокатор. Для будівель і загальних перешкод ця модель скінченної висоти застосовується завжди, коли камера розташована вище за споруду; для парканів вона керується перемикачем «Використовувати вертикальну висоту (3D)» (за замовчуванням: непрозорий блокатор). Математика кінця тіні міститься в obstacleTypes.ts; obstacleClipping.ts виконує віднімання полігональної різниці.

7Багатоповерхова проєкція

Перетин фрустуму із землею узагальнюється на будь-яку горизонтальну площину: замініть $z = 0$ на $z = z_{\text{target}}$ , розв'яжіть те саме рівняння промінь–площина для кожного кутового променя — і результатом буде слід на тому поверсі. Камера на другому поверсі атріуму охоплює перший поверх за тією самою побудовою — лише з іншим z_target та вертикальним зміщенням.

8Припущення та обмеження

Кожна формула вище спирається на спрощувальні припущення. Вони справджуються для більшості стаціонарно змонтованих CCTV, але порушуються за певних умов — задокументованих, щоб фахівці знали, коли моделі можна довіряти.

Припущення моделі

Пласка земля $(z = 0)$ — без ухилу, без кривини Землі.
Нерухома камера під час зйомки — без руху PTZ, без вібрації.
Модель камери-обскури — без дисторсії об'єктива Brown–Conrady (k₁, k₂, p₁, p₂).
Ідеальне калібрування — нахил, фокусна відстань, оптичний центр відповідають специфікації.
Без рядкового затвора; увесь кадр захоплено в одну мить.
Без крену камери; сенсор залишається горизонтальним.
Єдиний оптичний шлях — без заломлення в куполі, без відбиттів.

Коли модель перестає працювати

Похилий рельєф — слід зміщується асиметрично, похибка ≈ ±h·tan(slope) на метр.
Ширококутна дисторсія — понад ~110° HFOV прямолінійна модель може розбігатися на кілька відсотків у кутах (залежить від об'єктива, калібрування та моделі).
Скляні куполи — заломне зміщення масштабу мм; має значення лише для високоточного DORI.
Багаторазові відбиття в оптиці — відбиття не трасуються; лише пряма лінія зору.
PTZ у русі — модель дає одне панорамування/нахил; покриття — це заметений слід.
Монтажний допуск — реальні кути відхиляються на 1–3°; §9 кількісно оцінює вплив.

9Чутливість до похибок

Вхідні похибки (висота, нахил, FOV) поширюються на похибку наземного положення. Для ближнього перетину $d_{\text{near}} = h/\tan(\alpha + \text{vfov}/2)$ часткові похідні дорівнюють:

\begin{gathered} \dfrac{\partial d_{\text{near}}}{\partial h} = \dfrac{d_{\text{near}}}{h}, \quad \dfrac{\partial d_{\text{near}}}{\partial \alpha} = \dfrac{-h}{\sin^2(\alpha + \text{vfov}/2)}, \quad \dfrac{\partial d_{\text{near}}}{\partial\,\text{vfov}} = \dfrac{-h}{2\sin^2(\alpha + \text{vfov}/2)} \\[5pt] \footnotesize (\alpha,\ \mathrm{vfov}\ \text{in radians}) \end{gathered}

(8)

Кутові часткові похідні — у радіанах (× $\pi/180$ для значення на градус). Для типової конфігурації (h = 10 m, нахил = 15°, vfov = 50° → d_near ≈ 11.9 m):

Параметр	Похибка вхідних даних	Δ d_near	Примітка
tilt α	±1°	±0.42 m	роздільність інклінометра
tilt α	±3°	±1.27 m	монтаж кронштейна на око
height h	±0.5 m	±0.59 m	рулетка, недоступна щогла
vfov	±1°	±0.21 m	округлення в технічних характеристиках
combined	RMS	~1.4 m	at 3° + 0.5 m + 1°

Простими словами: похибка монтажу в 1° може зсунути зону Identify більш ніж на ширину дверного отвору. Невизначеність кута монтажу є визначальною: кожен градус похибки нахилу коштує тут ~42 cm на d_near. Лазерний інклінометр із точністю 0.1° утримує зумовлену нахилом похибку менше за 5 cm; кронштейн, виставлений на око, точний до ~±1 m. Для перевірки рівнів DORI — де кільця Recognize та Identify можуть відстояти на 2–3 m — нахил слід вимірювати, а не оцінювати на око.

10Критерії цільової відстані у різних стандартах

DORI — це міжнародна спільна мова, але проєктувальник працює за тим стандартом, який приписує юрисдикція. Кожна система кодує ту саму фізичну величину — потрібну деталізацію на відстані — в одній із чотирьох одиниць: пікселі на метр, відсоток висоти екрана, пікселі на фут або лінії-пари Johnson. Геометрія вище однакова; змінюється лише спосіб зчитування.

Регіон	Стандарт	Одиниця	Detect / Recognise / Identify	порівняно з DORI
Intl · EU	IEC / EN 62676-4 (2014·2025)	px/m	25 / 125 / 250 (Obs 62.5)	еталонна шкала
EU legacy	EN 50132-7:2012	% screen	10% / 50% / 100%	форма висоти екрана
UK	HOSDB 28/09 · Rotakin	% screen	10% / 50% / 100%†	= EN 50132-7
AU · NZ	AS 4806.2 → AS/NZS 62676	% → px/m	10% / 50% / 100% → DORI	перехід до DORI
US	DHS S&T handbook · PPF	px/ft	~10 / 40 / 80 ppf	DORI × 0.305
China	GB 37300-2018	px on target	body ≥200 · face ≥300 · plate ≥100	пікселів на цілі
UAE	Dubai SIRA	px/m	63.5 / 125 / 250	≈ DORI
India	BIS IS 16910-4	px/m	= DORI	приймає IEC 62676-4
Russia	GOST R 51558-2014 ‡	inter-eye px	face ID ≥60 px IED ‡	часткові D/R/I
Mil · thermal	Johnson 1958 · TTP	line-pairs	1.0 / 4.0 / 6.4 cyc	базова модель
Face biometric	ISO/IEC 19794-5 · 39794-5	inter-eye px	~10 / ~40 / ≥90 (IED)	нижня межа під Identify

† Британський Identify = 100% висоти екрана (HOSDB 28/09, 2009); раніша специфікація PSDB 17/94 / Rotakin використовувала 120%. Критерії наведено для еталонної людини зростом ~1.6–1.7 m. ‡ Російський GOST R 51558 має тут низьку достовірність — первинний текст платний, а вторинні джерела суперечать одне одному, тож трактуйте значення як орієнтовне. Обличчєво-біометрична величина IED = міжочна відстань (від зіниці до зіниці): піксельний поріг, на який зрештою спирається «Identify».

Не кожна юрисдикція фіксує число. Канада (RCMP GCPSG-011) і, на практиці, Саудівська Аравія (HCIS) вимагають, щоб характеристики камери обґрунтовувалися оцінкою ризиків об'єкта, а не заданою піксельною ціллю, а Японія не публікує окремого критерію відстані для CCTV.

Редакція IEC 62676-4 2025 року замінює чотири рівні DORI семиступеневою шкалою OODPCVS — Overview, Outline, Discern, Perceive, Characterise, Validate, Scrutinise — при 20 / 40 / 80 / 125 / 250 / 500 / 1500 px/m. Рушій CCTVplanner обчислює обидві.

Оскільки всі чотири одиниці вимірюють те саме, вони точно перераховуються одна в одну за заданих роздільності сенсора та розміру цілі:

\begin{aligned} \text{ppf} &= 0.3048 \times (\text{px/m}) \\[3pt] \%\,\text{screen height} &= 100\cdot\frac{(\text{px/m})\cdot H_{\text{target}}}{V_{\text{pixels}}} \\[3pt] \text{px/m} &= \frac{2N}{d_c}\ \ (N=\text{Johnson line-pairs},\ d_c=\text{critical dim.}) \end{aligned}

(9)

Тож одна відстань у рушії зчитується як 250 px/m (DORI Identify), 100% висоти екрана (EN 50132-7 / HOSDB), 76 px/ft (США) або 6.4 лінії-пари (Johnson) — та сама камера, чотири словники.

11Поширені хибні уявлення

Чотири непорозуміння пояснюють більшу частину розриву між проєктом на папері та тим, що встановлюють насправді — кожне з них є прямим наслідком геометрії, викладеної вище.

✗HFOV — це те саме, що DFOV.

✓Технічні характеристики часто наводять діагональне FOV. Використане як горизонтальне, воно розширює слід на 10–15% і завищує кожен діапазон DORI (§5).

✗Ширший об'єктив означає краще покриття.

✓Ширший об'єктив розподіляє ті самі пікселі на більшу сцену, тож щільність пікселів — і кожна відстань DORI — падає. Більше площі, менше розпізнаваних деталей.

✗Вища установка завжди покращує оглядовість.

✓Висота лінійно збільшує сліпу зону (§3) і робить кут огляду згори крутішим; після певної межі ви знімаєте більше маківок і дахів, ніж облич.

✗Відстань DORI відкладається просто на карту як наземний радіус.

✓Значення px/m досягається на похилій відстані (за лінією зору); кільце на карті — це його наземна проєкція √(slant²−h²), яка підтягується всередину, коли камеру встановлюють вище (§4).

12Відтворюваність

Кожна формула тут реалізована безпосередньо у геометричному модулі, що постачається з конструктором CCTVplanner — без наближень, окрім числового відбору, полігонального обрізання та впорядкування чисел із рухомою комою — і покрита набором модульних тестів для прямолінійної / еквідистантної / еквісолідної проєкцій, граничних випадків сліпої зони, наземної проєкції DORI, полігонально-булевого обрізання перешкод та багатоповерхового розширення. Кожен рисунок на цій сторінці викликає ті самі функції.

Ключові точки входу

buildFrustum(args) — базис камери + метадані фрустуму
computeGroundFootprint(frustum, projection) — відібраний полігон сліду
slantToGroundRadius(frustum, slantM) — $\sqrt{d^2 - h^2}$ з перевіркою досяжності
subtractObstacleShadows(footprint, shadows) — різниця Martínez–Rueda
computeFloorFootprint(frustum, z, projection) — багатоповерховий варіант

§Джерела

[1]IEC 62676-4:2014 (зі змінами) — Системи відеоспостереження для застосувань у сфері безпеки, Частина 4: Настанови із застосування (цільові відстані DORI). Опубліковано в Європі як EN 62676-4.
[2]Hartley & Zisserman, Multiple View Geometry in Computer Vision, 2-ге вид., Cambridge University Press, 2004.
[3]Kannala & Brandt, "A generic camera model and calibration method for conventional, wide-angle, and fish-eye lenses," IEEE TPAMI, 2006.
[4]Martínez, Rueda & Feito, "A new algorithm for computing Boolean operations on polygons," Computers & Geosciences, 2009 — із продовженням 2013 року в Advances in Engineering Software.
[5]Szeliski, Computer Vision: Algorithms and Applications, 2-ге вид., Springer, 2022 (моделі проєкції, геометрія камери — стандартний довідник).
[6]EN 50132-7:2012 — Системи тривожної сигналізації, системи відеоспостереження CCTV, Частина 7: Настанови із застосування (експлуатаційні вимоги до висоти екрана; замінено на EN 62676-4).
[7]IEC 62676-4:2025 (Вид. 2) — Настанови із застосування, що впроваджують семиступеневу шкалу щільності пікселів OODPCVS.
[8]US DHS Science & Technology, Digital Video Quality Handbook, 2013 (оновлено 2018) — настанови щодо пікселів на фут для відео громадської безпеки.
[9]GB 37300-2018 — Відеоспостереження громадської безпеки (Китай, обов'язковий), §5.6 вимоги до цільових пікселів.
[10]Johnson, J. (1958), "Analysis of image-forming systems," Proc. Image Intensifier Symposium — з наступною моделлю NVESD Targeting Task Performance (TTP), Vollmerhausen & Jacobs, Opt. Eng. 43(11), 2004.
[11]ISO/IEC 19794-5:2011 & ISO/IEC 39794-5:2019 — Біометричні дані зображення обличчя (критерії міжочних пікселів для розпізнавання та реєстрації обличчя).

Як цитувати

Дослідження CCTVplanner. Геометрія покриття CCTV-камери. Технічна нотатка CP-TN-01, v1.0, 2026. cctvplanner.io/camera-physics

@techreport{cctvplanner-cptn01-2026,
  title   = {The Geometry of CCTV Camera Coverage},
  author  = {{CCTVplanner Research}},
  number  = {CP-TN-01},
  version = {1.0},
  year    = {2026},
  url     = {https://cctvplanner.io/camera-physics}
}

Кожен рисунок у цій нотатці згенеровано тим самим геометричним рушієм, який використовує конструктор CCTVplanner.

Відкрити конструктор