A geometria da cobertura de câmeras CCTV

Resumo

Derivamos, a partir do modelo de câmera pinhole, a pegada no solo de uma câmera CCTV inclinada e montada em mastro: as interseções das bordas próxima e distante, o ponto cego geométrico diretamente sob o suporte e as distâncias-alvo DORI da EN 62676-4 representadas como arcos sobre o solo. Cada figura abaixo é calculada dinamicamente pelo módulo de geometria que acompanha o designer do CCTVplanner — mova os controles deslizantes para reproduzir cada resultado. Encerramos com modelos de projeção de lentes, a armadilha HFOV/DFOV das folhas de dados, o sombreamento por obstáculos, um orçamento de erro dos parâmetros e as premissas sob as quais o modelo pode ser considerado confiável.

Convenções

solo: plano z = 0
câmera: centro óptico à altura z = h
eixos: +x direita · +y frente · +z cima
inclinação α: medida para baixo a partir da horizontal
raios: lançados a partir do centro óptico na base (f, r, u)
ângulos: radianos nas derivadas; graus nas figuras

Escopo — o que esta nota não é

Um modelo puramente geométrico de onde os raios de uma câmera incidem. Dentro das premissas declaradas, ele é geometricamente exato — matematicamente preciso, ainda que limitado em escopo. Ele não pretende modelar:

qualidade de imagem ou ruído do sensor
artefatos de compressão de vídeo
iluminação, baixa luminosidade ou alcance IR
precisão de detecção por IA / analítica

1Do frustum à pegada no solo

Uma câmera pinhole define um frustum de visão: uma pirâmide de quatro lados que se estende do centro óptico da câmera até as bordas do seu plano de imagem. Cada ponto da imagem — o centro de um pixel na implementação discreta — define um raio de visão que parte do centro óptico e atravessa o plano de imagem. Para determinar a região do solo que uma câmera cobre, intersectamos cada raio com o plano do solo e mantemos os pontos dentro do alcance da câmera. O modelo pinhole é usado aqui porque fornece uma aproximação analiticamente tratável que corresponde às premissas geométricas da EN 62676-4 e às especificações publicadas da maioria das câmeras CCTV fixas.

Para uma câmera à altura h, inclinada em α abaixo da horizontal, com um campo de visão vertical vfov, o envelope externo da cobertura é traçado pela borda da imagem — em uma projeção retilínea, apenas os quatro raios dos cantos o definem, enquanto em projeções fisheye ele é amostrado ao longo de toda a borda. Em montagens típicas (onde $\alpha + \tfrac{\text{vfov}}{2} < 90^\circ$ ), o formato é uma pegada aproximadamente trapezoidal com cantos curvos — não um triângulo nem um setor que se origina no suporte. À medida que $\alpha + \tfrac{\text{vfov}}{2}$ se aproxima de 90° (domos de teto muito inclinados), a borda inferior da imagem encontra o solo na base do mastro e a pegada degenera em direção a um setor.

Figure 1Pegada no solo em vista superior

h altura4 mα inclinação26 °H hfov102 °R alcance28 m

Fig. 1. Pegada no solo gerada pelo módulo de geometria de produção. A borda inferior encontra o solo a uma curta distância à frente da câmera; as bordas laterais se abrem em leque; a borda distante é limitada ao alcance efetivo. Amplie hfov além de 180° e a pegada se fecha em um disco completo.

2Interseção das bordas próxima e distante

Cada amostra do plano de imagem (s_H, s_V) ∈ [−1, 1]² é mapeada para uma direção de raio de visão no referencial da câmera:

\mathbf{d}(s_H, s_V) = \mathbf{f} + s_H\tan\tfrac{\text{HFOV}}{2}\,\mathbf{r} + s_V\tan\tfrac{\text{VFOV}}{2}\,\mathbf{u}

(1)

onde f, r, u são os vetores da base da câmera para frente / direita / cima (pan e tilt já aplicados) — é aqui que HFOV e VFOV entram na geometria. Intersectar o raio que parte do centro óptico ao longo de d com o plano do solo z = 0 fornece cada amostra da pegada. O raio da borda inferior (s_V = −1) encontra o solo na distância próxima, e o raio da borda superior (s_V = +1), na distância distante:

d_{\text{near}} = \dfrac{h}{\tan\!\left(\alpha + \frac{\text{vfov}}{2}\right)}

(2)

d_{\text{far}} = \begin{cases} \dfrac{h}{\tan\!\left(\alpha - \frac{\text{vfov}}{2}\right)}, & \alpha > \tfrac{\text{vfov}}{2}\ \ (\text{below horizon}) \\[10pt] \infty \ \rightarrow\ \text{clamp to } R, & \alpha \le \tfrac{\text{vfov}}{2}\ \ (\text{edge above horizon}) \end{cases}

(3)

Figure 2Vista lateral — raios, faixa no solo, ponto cego

h altura6 mα inclinação16 °β vfov48 °R alcance38 m

Fig. 2. Elevação lateral. As duas linhas azuis são os raios das bordas inferior e superior; a faixa azul espessa é onde a câmera forma a imagem do piso (d_near → d_far). A cunha vermelha sob o mastro é a região que nenhum raio alcança. Aumente h para ver o ponto cego crescer (§3); reduza α abaixo de vfov/2 e a borda distante sobe acima do horizonte e é limitada ao alcance.

Para as bordas laterais (s_H = ±1), a mesma construção ocorre no plano horizontal. Para lentes retilíneas (a óptica CCTV dominante), essas bordas se projetam como linhas retas divergentes — os lados inclinados do trapézio. Para lentes fisheye, o mapeamento é curvo e a pegada se torna um disco curvo.

3O ponto cego geométrico

Para qualquer câmera montada acima do solo e inclinada menos que $90^\circ - \tfrac{\text{vfov}}{2}$ , uma região diretamente sob o suporte não recebe nenhum raio. Tudo mais próximo que d_near está inteiramente fora da imagem e, com inclinação e FOV fixos, o ponto cego escala linearmente com a altura:

d_{\text{near}} = h\,\cot\!\left(\alpha + \tfrac{\text{vfov}}{2}\right), \qquad \frac{\partial d_{\text{near}}}{\partial h} = \cot\!\left(\alpha + \tfrac{\text{vfov}}{2}\right)

(4)

Uma câmera com inclinação de 15° e FOV vertical de 50° tem um ponto cego de 4.8 m a 4 m e de 23.8 m a 20 m — uma razão de 5× que corresponde à razão das alturas. A razão entre a área cega e a área de cobertura é a principal restrição para instalações em mastros altos.

4Faixas DORI (EN 62676-4)

A norma DORI (Detect / Observe / Recognize / Identify) define densidades de pixels alvo — Identify 250, Recognize 125, Observe 62.5, Detect 25 px/m. Uma dada densidade é alcançada a uma distância oblíqua (linha de visada) específica a partir da lente: a distância do objeto na relação de imageamento $\text{px/m} = f\cdot\text{res}/(\text{sensor}\cdot d)$ . Para posicionar um nível em um mapa 2D, o designer projeta essa distância oblíqua sobre o solo como um anel horizontal de raio $\sqrt{d_{\text{slant}}^{2} - h^2}$ (o slantToGroundRadius do módulo), recortado pela pegada. Assim, os arcos são raios horizontais no solo derivados da distância oblíqua do nível — eles se igualam à distância oblíqua apenas para uma câmera ao nível do solo e se contraem para dentro à medida que o suporte sobe. A Seção 10 mapeia esses níveis em px/m para os critérios de altura de tela, pixels por pé e pares de linhas usados em outras partes do mundo.

Figure 3Anéis DORI como arcos no solo

Identify
250 px/m

Recognize
125 px/m

Observe
62.5 px/m

Detect
25 px/m

h altura4 mα inclinação20 °H hfov90 °R alcance70 m

Fig. 3. Níveis DORI dentro da pegada. As distâncias oblíquas dos níveis (8 / 16 / 32 / 64 m, ilustrativas para uma câmera 1080p com HFOV de ~90°) são projetadas sobre o solo pelo slantToGroundRadius do motor, de modo que cada rótulo mostra o raio horizontal

\sqrt{d^2 - h^2}

. Aumente h e os níveis próximos se contraem e, em seguida, desaparecem quando a câmera passa a estar acima da esfera oblíqua. Estreite o hfov e o cone fica fino demais para conter os anéis externos.

A projeção no solo. A distância oblíqua de cada nível se torna um raio horizontal no solo:

r_{\text{ground}} = \sqrt{\,d_{\text{slant}}^{\,2} - h^2\,}

(5)

Uma câmera montada a 6 m cujo nível Identify (250 px/m) é alcançado a uma distância oblíqua de 8 m cobre um raio horizontal no solo de 5.3 m ( $\sqrt{64 - 36}$ ). Essa é exatamente a projeção que o designer e as exportações em PDF e DXF aplicam a cada nível. (Um mecanismo de compatibilidade legado — câmeras PTZ e câmeras sem configuração de altura de montagem / ponto cego — desenha a distância oblíqua bruta como um raio plano, sem a correção de altura.)

5Modelos de projeção de lentes

Diferentes projetos de lentes mapeiam o ângulo θ em relação ao eixo óptico para o raio no plano de imagem r(θ) de maneiras distintas. Os três usados em CCTV:

Projeção	r(θ)	Faixa típica
Rectilinear	$f\tan\theta$	HFOV ≲ 120° — a maioria das lentes fixas e varifocais
Equidistant	$f\,\theta$	HFOV ≳ 140° — panorâmica / fisheye
Equisolid	$2f\sin(\theta/2)$	Fisheye que preserva o ângulo sólido

Para lentes retilíneas, o fator fora do eixo $\tan\theta$ excede 1 assim que θ ultrapassa 45° (HFOV > 90°) e diverge conforme θ → 90°. Como uma aproximação numérica — uma escolha de implementação, não uma propriedade da óptica — o CCTVplanner usa a projeção retilínea até 170° de HFOV e então alterna para a equidistante em prol da estabilidade; a equisólida é suportada na camada de geometria para dados de fabricante que a especifiquem.

A armadilha das folhas de dados: HFOV vs DFOV

Muitos fabricantes — em particular Dahua, Hikvision, Uniview, Tiandy — informam um único número de FOV que na verdade é o campo de visão diagonal (DFOV). Inserir um DFOV em uma ferramenta que espera HFOV resulta em uma pegada 10–15% larga demais, com o erro concentrado nas bordas laterais, onde a densidade de pixels é mais importante. Para um sensor de proporção a (16:9 → a = 16/9):

\tan\tfrac{\text{HFOV}}{2} = \tan\tfrac{\text{DFOV}}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}, \qquad \tan\tfrac{\text{VFOV}}{2} = \tan\tfrac{\text{DFOV}}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}

(6)

O mapeamento é não linear: um atalho linear tentador $\text{HFOV} \approx k\cdot\text{DFOV}$ funciona para lentes estreitas, mas falha gravemente à medida que o campo se amplia. Para um sensor 16:9:

DFOV	HFOV exato	VFOV exato	Erro do atalho linear
60°	53.4°	31.6°	−1.1°
80°	72.4°	44.7°	−2.6°
100°	92.2°	60.6°	−5.0°
120°	113.0°	80.7°	−8.4°
140°	134.7°	106.8°	−12.7°

6Obstáculos, sombras e a pegada visível

Paredes e cercas bloqueiam raios. Cada obstáculo opaco é modelado como um polígono ou polilinha; cada segmento é projetado para longe da câmera até várias vezes o alcance de renderização, e a união dessas sombras por segmento é a silhueta do obstáculo mais tudo o que está atrás dele. A pegada visível é então $\text{footprint} \setminus \bigcup \text{shadows}$ , por meio do algoritmo de diferença de polígonos de Martínez–Rueda.

Para uma análise com reconhecimento 3D, um obstáculo mais baixo que a câmera projeta uma sombra finita no solo. Para uma parede à distância horizontal d, altura da câmera h_cam, topo do obstáculo h_obs:

d_{\text{shadow}} = d\cdot\dfrac{h_{\text{cam}}}{h_{\text{cam}} - h_{\text{obs}}}\quad (h_{\text{cam}} > h_{\text{obs}})

(7)

Para $h_{\text{obs}} \ge h_{\text{cam}}$ , o obstáculo bloqueia totalmente a linha de visada — uma sombra infinita, tratada como um bloqueador totalmente opaco. Para edifícios e obstáculos genéricos, esse modelo de altura finita é sempre aplicado sempre que a câmera está acima da estrutura; para cercas, ele é condicionado pela opção "Usar altura vertical (3D)" (padrão: bloqueador opaco). A matemática do fim da sombra está em obstacleTypes.ts; obstacleClipping.ts executa a subtração por diferença de polígonos.

7Projeção em múltiplos pavimentos

A interseção frustum-solo se generaliza para qualquer plano horizontal: substitua $z = 0$ por $z = z_{\text{target}}$ , resolva a mesma equação raio-plano para cada raio de canto, e o resultado é a pegada naquele pavimento. Uma câmera no segundo andar de um átrio cobre o pavimento térreo pela mesma construção — apenas com um z_target diferente e um deslocamento vertical.

8Premissas e limites

Cada fórmula acima se apoia em premissas simplificadoras. Elas são válidas para a maior parte do CCTV de montagem fixa, mas falham em condições específicas — documentadas para que os profissionais saibam quando confiar no modelo.

Premissas do modelo

Solo plano $(z = 0)$ — sem inclinação, sem curvatura da Terra.
Câmera estática na captura — sem movimento PTZ, sem vibração.
Modelo pinhole — sem distorção de lente de Brown–Conrady (k₁, k₂, p₁, p₂).
Calibração ideal — inclinação, distância focal e centro óptico conforme a especificação.
Sem rolling shutter; quadro inteiro capturado em um único instante.
Sem rotação (roll) da câmera; o sensor permanece horizontal.
Caminho óptico único — sem refração do domo, sem reflexões.

Quando o modelo falha

Terreno inclinado — a pegada se desloca de forma assimétrica, erro ≈ ±h·tan(slope) por metro.
Distorção de grande angular — além de ~110° de HFOV, a projeção retilínea pode divergir em vários por cento nos cantos (dependente da lente, da calibração e do modelo).
Domos de vidro — deslocamento refrativo em escala de mm; relevante apenas para DORI de alta precisão.
Óptica de múltiplas reflexões — as reflexões não são traçadas; apenas linha de visada.
PTZ em movimento — o modelo fornece um único pan/tilt; a cobertura é a pegada varrida.
Tolerância de instalação — os ângulos reais desviam 1–3°; a §9 quantifica o impacto.

9Sensibilidade a erros

Erros de entrada (altura, inclinação, FOV) se propagam para o erro de posição no solo. Para a interseção próxima $d_{\text{near}} = h/\tan(\alpha + \text{vfov}/2)$ , as derivadas parciais são:

\begin{gathered} \dfrac{\partial d_{\text{near}}}{\partial h} = \dfrac{d_{\text{near}}}{h}, \quad \dfrac{\partial d_{\text{near}}}{\partial \alpha} = \dfrac{-h}{\sin^2(\alpha + \text{vfov}/2)}, \quad \dfrac{\partial d_{\text{near}}}{\partial\,\text{vfov}} = \dfrac{-h}{2\sin^2(\alpha + \text{vfov}/2)} \\[5pt] \footnotesize (\alpha,\ \mathrm{vfov}\ \text{in radians}) \end{gathered}

(8)

As parciais angulares estão em radianos (× $\pi/180$ para valores por grau). Para uma configuração típica (h = 10 m, tilt = 15°, vfov = 50° → d_near ≈ 11.9 m):

Parâmetro	Erro de entrada	Δ d_near	Nota
tilt α	±1°	±0.42 m	resolução do inclinômetro
tilt α	±3°	±1.27 m	instalação do suporte a olho
height h	±0.5 m	±0.59 m	trena, mastro inacessível
vfov	±1°	±0.21 m	arredondamento da folha de dados
combined	RMS	~1.4 m	at 3° + 0.5 m + 1°

Em termos simples: um erro de instalação de 1° pode deslocar a zona Identify por mais que a largura de um vão de porta. A incerteza do ângulo de instalação domina: cada grau de erro de inclinação custa ~42 cm em d_near neste caso. Um inclinômetro a laser com precisão de 0.1° mantém o erro causado pela inclinação abaixo de 5 cm; um suporte alinhado a olho tem precisão de ~±1 m. Para a verificação de níveis DORI — onde os anéis Recognize e Identify podem estar a 2–3 m de distância um do outro — a inclinação deve ser medida, não estimada.

10Critérios de distância-alvo entre normas

O DORI é a língua franca internacional, mas um projetista trabalha sob a norma que a jurisdição determinar. Todos os referenciais codificam a mesma grandeza física — detalhe necessário a uma distância — em uma de quatro unidades: pixels por metro, porcentagem da altura de tela, pixels por pé ou pares de linhas de Johnson. A geometria acima é idêntica; apenas a leitura muda.

Região	Norma	Unidade	Detect / Recognise / Identify	vs DORI
Intl · EU	IEC / EN 62676-4 (2014·2025)	px/m	25 / 125 / 250 (Obs 62.5)	escada de referência
EU legacy	EN 50132-7:2012	% screen	10% / 50% / 100%	forma em altura de tela
UK	HOSDB 28/09 · Rotakin	% screen	10% / 50% / 100%†	= EN 50132-7
AU · NZ	AS 4806.2 → AS/NZS 62676	% → px/m	10% / 50% / 100% → DORI	migrando para DORI
US	DHS S&T handbook · PPF	px/ft	~10 / 40 / 80 ppf	DORI × 0.305
China	GB 37300-2018	px on target	body ≥200 · face ≥300 · plate ≥100	px no alvo
UAE	Dubai SIRA	px/m	63.5 / 125 / 250	≈ DORI
India	BIS IS 16910-4	px/m	= DORI	adota a IEC 62676-4
Russia	GOST R 51558-2014 ‡	inter-eye px	face ID ≥60 px IED ‡	D/R/I parcial
Mil · thermal	Johnson 1958 · TTP	line-pairs	1.0 / 4.0 / 6.4 cyc	modelo subjacente
Face biometric	ISO/IEC 19794-5 · 39794-5	inter-eye px	~10 / ~40 / ≥90 (IED)	piso sob Identify

† No Reino Unido, Identify = 100% da altura de tela (HOSDB 28/09, 2009); a especificação anterior PSDB 17/94 / Rotakin usava 120%. Os critérios referem-se a uma pessoa de referência de ~1.6–1.7 m. ‡ A norma russa GOST R 51558 tem baixa confiabilidade aqui — o texto original está atrás de paywall e as fontes secundárias divergem, portanto trate o valor como indicativo. Biométrica facial IED = distância interocular (de pupila a pupila): o piso de pixels sobre o qual "Identify" se apoia em última instância.

Nem toda jurisdição fixa um número. O Canadá (RCMP GCPSG-011) e, na prática, a Arábia Saudita (HCIS) exigem que o desempenho da câmera seja justificado por uma avaliação de risco do local, em vez de um alvo fixo de pixels, e o Japão não publica nenhum critério de distância CCTV dedicado.

A revisão de 2025 da IEC 62676-4 substitui os quatro níveis DORI por uma escada OODPCVS de sete degraus — Overview, Outline, Discern, Perceive, Characterise, Validate, Scrutinise — em 20 / 40 / 80 / 125 / 250 / 500 / 1500 px/m. O motor do CCTVplanner calcula ambos.

Como as quatro unidades medem a mesma coisa, elas se convertem exatamente entre si dados a resolução do sensor e o tamanho do alvo:

\begin{aligned} \text{ppf} &= 0.3048 \times (\text{px/m}) \\[3pt] \%\,\text{screen height} &= 100\cdot\frac{(\text{px/m})\cdot H_{\text{target}}}{V_{\text{pixels}}} \\[3pt] \text{px/m} &= \frac{2N}{d_c}\ \ (N=\text{Johnson line-pairs},\ d_c=\text{critical dim.}) \end{aligned}

(9)

Assim, uma mesma distância no motor é lida como 250 px/m (DORI Identify), 100% de altura de tela (EN 50132-7 / HOSDB), 76 px/ft (EUA) ou 6.4 pares de linhas (Johnson) — a mesma câmera, quatro vocabulários.

11Equívocos comuns

Quatro confusões respondem pela maior parte da diferença entre um projeto no papel e o que é de fato instalado — cada uma consequência direta da geometria acima.

✗HFOV é o mesmo que DFOV.

✓As folhas de dados frequentemente informam o FOV diagonal. Usado como horizontal, ele alarga demais a pegada em 10–15% e infla todas as faixas DORI (§5).

✗Uma lente mais aberta significa melhor cobertura.

✓Uma lente mais aberta distribui os mesmos pixels por uma cena maior, de modo que a densidade de pixels — e toda distância DORI — cai. Mais área, menos detalhe identificável.

✗Montar mais alto sempre melhora a visibilidade.

✓A altura aumenta o ponto cego linearmente (§3) e acentua o ângulo de visão para baixo; a partir de certo ponto, você capta mais couro cabeludo e telhado do que rosto.

✗Uma distância DORI é plotada diretamente no mapa como um raio no solo.

✓A densidade em px/m é atingida na distância oblíqua (linha de visada); o anel no mapa é a sua projeção no solo √(slant²−h²), que se contrai para dentro à medida que a câmera é montada mais alto (§4).

12Reprodutibilidade

Cada fórmula aqui é implementada diretamente no módulo de geometria que acompanha o designer do CCTVplanner — sem aproximação além da amostragem numérica, do recorte de polígonos e da ordenação em ponto flutuante — coberta por um conjunto de testes unitários que abrange as projeções retilínea / equidistante / equisólida, casos-limite de ponto cego, projeção DORI no solo, recorte de obstáculos por operações booleanas de polígonos e a extensão para múltiplos pavimentos. Cada figura desta página chama essas mesmas funções.

Principais pontos de entrada

buildFrustum(args) — base da câmera + metadados do frustum
computeGroundFootprint(frustum, projection) — polígono da pegada amostrada
slantToGroundRadius(frustum, slantM) — $\sqrt{d^2 - h^2}$ com verificação de alcançabilidade
subtractObstacleShadows(footprint, shadows) — diferença de Martínez–Rueda
computeFloorFootprint(frustum, z, projection) — variante para múltiplos pavimentos

§Referências

[1]IEC 62676-4:2014 (com emendas) — Sistemas de videovigilância para uso em aplicações de segurança, Parte 4: Diretrizes de aplicação (distâncias-alvo DORI). Publicada como EN 62676-4 na Europa.
[2]Hartley & Zisserman, Multiple View Geometry in Computer Vision, 2ª ed., Cambridge University Press, 2004.
[3]Kannala & Brandt, "A generic camera model and calibration method for conventional, wide-angle, and fish-eye lenses," IEEE TPAMI, 2006.
[4]Martínez, Rueda & Feito, "A new algorithm for computing Boolean operations on polygons," Computers & Geosciences, 2009 — com a continuação de 2013 em Advances in Engineering Software.
[5]Szeliski, Computer Vision: Algorithms and Applications, 2ª ed., Springer, 2022 (modelos de projeção, geometria de câmera — referência padrão).
[6]EN 50132-7:2012 — Sistemas de alarme, sistemas de vigilância CCTV, Parte 7: Diretrizes de aplicação (requisitos operacionais de altura de tela; substituída pela EN 62676-4).
[7]IEC 62676-4:2025 (Ed. 2) — Diretrizes de aplicação que introduzem a escada de densidade de pixels OODPCVS de sete degraus.
[8]US DHS Science & Technology, Digital Video Quality Handbook, 2013 (atualizado em 2018) — orientação de pixels por pé para vídeo de segurança pública.
[9]GB 37300-2018 — Videovigilância de segurança pública (China, obrigatória), §5.6 requisitos de pixels no alvo.
[10]Johnson, J. (1958), "Analysis of image-forming systems," Proc. Image Intensifier Symposium — com o sucessor NVESD Targeting Task Performance (TTP), Vollmerhausen & Jacobs, Opt. Eng. 43(11), 2004.
[11]ISO/IEC 19794-5:2011 & ISO/IEC 39794-5:2019 — Dados biométricos de imagem facial (critérios de pixels interoculares para reconhecimento facial e cadastro).

Como citar

CCTVplanner Research. A Geometria da Cobertura de Câmeras CCTV. Nota Técnica CP-TN-01, v1.0, 2026. cctvplanner.io/camera-physics

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  title   = {The Geometry of CCTV Camera Coverage},
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  number  = {CP-TN-01},
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Cada figura desta nota é gerada pelo mesmo motor de geometria usado pelo designer do CCTVplanner.

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